容易驗證 在 上可導。現命 顯然，當 時， 但是，

這個極限並不存在，也就不可能等於

事實上，若要當前結論成立，必須加強條件，比如補充 連續。由於我們總可以將 取得充分靠近 以使得 在 （或 ）上可導，如此，則依Lagrange中值定理，將成立

現對此式取 的極限，顯然，此時 於是

這裡給出幾點註記：

題主可能會問，為何會想到構造這樣的反例 ？事實上，這正是注意到了所構造這個 的導數在 不連續。 連續是使得當前結論成立的充分條件，但它並不必要。換言之，即使 不連續，在某些場合仍能使得等式成立。比如在 中，命 至於 右端極限不存在，是可以證明的。注意到

其中 都是無窮小量與有界變數的乘積，它們極限為零。於是假若 右端極限存在，則

也必然存在，但這是不可能的，因為

其中， 但 不趨於任何極限，故而 所表示的極限不存在，於是 右端極限也就不存在了。