證明：設群G是一個迴圈群，則G必定是由一個元素生成的，取其生成元a，則有G=（a）。
H是G的一個子群（非空、運算封閉、結合律）。如果H是單位元群，則H顯然是迴圈群。若H不是單位元群，則H中必定含有最小正冪m>0的元素a^m。
如果m<0，則a^m的逆元a^(-m)也在H內，而-m>0，所以我們取m時恆大於0。
則H中的元素都可以表示為a^m的任意乘冪，即(a^m)^n=a^(m·n)，n∈Z。假設H中存在一個元素為a^(m·n+r)，0<r<m，若這個元素不存在，則群G是由a^m生成的迴圈群，即得證。現在證明這個元素不可能存在。
假設群H中有a^S∈H，a^S=a^(m·n+r)，即有a^S=(a^m)^n·a^r，將a^r放置於等式一側，可得到a^r=a^S·(a^m)^(-n)，其中a^S和a^m均是H中元素，而a^r理應也屬於H。但是0<r＜m，而m是最小正數，故a^r不可能存在，即r必須等於0。
即H中任意元a^S是a^m的任意乘冪，所以H是a^m生成的迴圈群。
證明：設群G是一個迴圈群，則G必定是由一個元素生成的，取其生成元a，則有G=（a）。
H是G的一個子群（非空、運算封閉、結合律）。如果H是單位元群，則H顯然是迴圈群。若H不是單位元群，則H中必定含有最小正冪m>0的元素a^m。
如果m<0，則a^m的逆元a^(-m)也在H內，而-m>0，所以我們取m時恆大於0。
則H中的元素都可以表示為a^m的任意乘冪，即(a^m)^n=a^(m·n)，n∈Z。假設H中存在一個元素為a^(m·n+r)，0<r<m，若這個元素不存在，則群G是由a^m生成的迴圈群，即得證。現在證明這個元素不可能存在。
假設群H中有a^S∈H，a^S=a^(m·n+r)，即有a^S=(a^m)^n·a^r，將a^r放置於等式一側，可得到a^r=a^S·(a^m)^(-n)，其中a^S和a^m均是H中元素，而a^r理應也屬於H。但是0<r＜m，而m是最小正數，故a^r不可能存在，即r必須等於0。
即H中任意元a^S是a^m的任意乘冪，所以H是a^m生成的迴圈群。