第一題直接算吧.可以考慮用A-E來代替A這樣得到的線性變換是一樣的並且0比較多可以稍微簡化運算第四題注意C可由X經過初等列變換得到.應用一些分塊矩陣技巧找出D.由於C列滿秩所以這樣的D是唯一的(2)直接利用(1)結論和特徵值定義即可.(3)從前面分塊矩陣的結果可以直接看出.B可以相似於一個分塊下三角陣且其中一個對角塊就是D故結論成立第五題(1)利用實對稱的冪零矩陣必為0矩陣事實上可以得到A=0結論甚至不需要A為方陣.長方形實矩陣也成立若希望結論對復矩陣成立將轉置改為共軛轉置即可(2)秩1的跡零矩陣必冪零(平方之後就是0了)然後Jordan標準型必只有1個Jordan塊所以結論是對的(3)也是存在的事實上此時A,B可以同時上三角化並且A冪零。所以構造的時候我們可以直接來找滿足條件的上三角矩陣A,B且A冪零.就設A為2階jordan塊,待定B的3個元來找B即可.最後一題才5分而且前面計算巨多可以放棄啦.看起來有可能需要歸納.注意到每個A_n都是A_{n+1}左上角的那個子式,可以考慮證明A_n行列式非負來說明半正定從而所有特徵值都非負
第一題直接算吧.可以考慮用A-E來代替A這樣得到的線性變換是一樣的並且0比較多可以稍微簡化運算第四題注意C可由X經過初等列變換得到.應用一些分塊矩陣技巧找出D.由於C列滿秩所以這樣的D是唯一的(2)直接利用(1)結論和特徵值定義即可.(3)從前面分塊矩陣的結果可以直接看出.B可以相似於一個分塊下三角陣且其中一個對角塊就是D故結論成立第五題(1)利用實對稱的冪零矩陣必為0矩陣事實上可以得到A=0結論甚至不需要A為方陣.長方形實矩陣也成立若希望結論對復矩陣成立將轉置改為共軛轉置即可(2)秩1的跡零矩陣必冪零(平方之後就是0了)然後Jordan標準型必只有1個Jordan塊所以結論是對的(3)也是存在的事實上此時A,B可以同時上三角化並且A冪零。所以構造的時候我們可以直接來找滿足條件的上三角矩陣A,B且A冪零.就設A為2階jordan塊,待定B的3個元來找B即可.最後一題才5分而且前面計算巨多可以放棄啦.看起來有可能需要歸納.注意到每個A_n都是A_{n+1}左上角的那個子式,可以考慮證明A_n行列式非負來說明半正定從而所有特徵值都非負