證明：∵x(n+1) =√[2+x(n)]x(1)=√2顯然，x(n)>0[x(n+1)]² - [x(n)]²=2+x(n)-[x(n)]²=-[x(n) -2][x(n)+1]假設：x(n)<2，那麼：1°x(1)=√2<2x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=22°令：n=k時，x(k)<2也成立，那麼當n=k+1時：x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2因此：當n=k+1時，x(k+1)<2也成立！綜上，x(n)<2於是：[x(n+1)]² - [x(n)]²=2+x(n)-[x(n)]²=-[x(n) -2][x(n)+1]>0∴x(n+1) >x(n)對於數列{x(n)}：1）x(n+1) >x(n)，數列單調遞增；2）x(n)<2，該數列有上確界∴數列{x(n)}極限存在！設：lim(x→∞) x(n)=A對x(n+1) =√[2+x(n)]兩邊求極限，於是：A=√(2+A)解得：A=2和-1根據極限保號性，A=-1捨去，因此：lim(x→∞) x(n)=2
證明：∵x(n+1) =√[2+x(n)]x(1)=√2顯然，x(n)>0[x(n+1)]² - [x(n)]²=2+x(n)-[x(n)]²=-[x(n) -2][x(n)+1]假設：x(n)<2，那麼：1°x(1)=√2<2x(2)=√(2+√2)<√(2+2)=2x(3)=√[2+√(2+√2)]<√[2+√(2+2)]=22°令：n=k時，x(k)<2也成立，那麼當n=k+1時：x(k+1)=√[2+x(k)]<√(2+2)=2因此：當n=k+1時，x(k+1)<2也成立！綜上，x(n)<2於是：[x(n+1)]² - [x(n)]²=2+x(n)-[x(n)]²=-[x(n) -2][x(n)+1]>0∴x(n+1) >x(n)對於數列{x(n)}：1）x(n+1) >x(n)，數列單調遞增；2）x(n)<2，該數列有上確界∴數列{x(n)}極限存在！設：lim(x→∞) x(n)=A對x(n+1) =√[2+x(n)]兩邊求極限，於是：A=√(2+A)解得：A=2和-1根據極限保號性，A=-1捨去，因此：lim(x→∞) x(n)=2