證明：假設數列an收斂於實數A和實數B，其中A≠B，不妨假設A<B。那麼對於任給的e，總存在N>0，使得對於任意的n≥N，總有|an-A|<e取e=(B-A)/2，那麼對於任意的n≥N，必有|an-A|<(B-A)/2即A-(B-A)/2<an<A+(B-A)/2即(3A-B)/2<an<(A+B)/2因此(3A-B)/2-B<an-B<(A+B)/2-B即3(A-B)/2<an-B<(A-B)/2由於A<B，所以A-B<0因此an-B<(A-B)/2<0對於任意的n≥N成立。即|an-B|>|A-B|/2對於任意的n≥N成立。因此存在一個e"=|A-B|/2>0，使得對於任意的N">0，總會有更大的N"">N且N>N"，使得對於任意的n≥N""，總是不滿足|an-B|<e"。根據數列極限的e-N定義法，數列an不收斂於B。歸謬完畢。

當n > N1,|xn - a| N2,|xn - b| N時有|a-b|=|(xn - b)-(xn - a)|