給一個不同的想法：1.由於確定一個圓只需要圓心和半徑，而圓心的位置和麵積是沒有關係的（圖形的平移不變性），所以圓的面積應該是一個關於半徑 r 的函式：S = S ( r )。2.等比例的座標放縮變換對一維物件的作用是等比放縮，對二維物件的作用是平方放縮，因此各種平面圖形的面積S如果滿足S = S (d1, d2, ... , dk)，那麼S (k.d1, k.d2, ... , k.dm) = k^2 . S (d1, d2, ... , dk). 所以圓的面積S ( r ) = r^2 S ( 1 )，它正比於r^2。3.假設圓的面積S ( r ) = C r^2，那麼考慮圓中一個扇形的面積。假設這個扇形的弧邊長度是 ar，那麼由於圓形的對稱性，扇形的面積和整個圓形面積的比值應該等於弧長和圓周長的比值S(扇形)/S(圓形) = ar/圓周長4.在弧長趨於0的時候，可以將扇形看成是以弧長ar為高，半徑 r 為底的三角形，面積約等於 ar^2/2，所以a趨於0的時候，ar^2/2Cr^2 ~ ar/圓周長也就是說，圓周長/2r = C所以C等於圓周率π。
給一個不同的想法：1.由於確定一個圓只需要圓心和半徑，而圓心的位置和麵積是沒有關係的（圖形的平移不變性），所以圓的面積應該是一個關於半徑 r 的函式：S = S ( r )。2.等比例的座標放縮變換對一維物件的作用是等比放縮，對二維物件的作用是平方放縮，因此各種平面圖形的面積S如果滿足S = S (d1, d2, ... , dk)，那麼S (k.d1, k.d2, ... , k.dm) = k^2 . S (d1, d2, ... , dk). 所以圓的面積S ( r ) = r^2 S ( 1 )，它正比於r^2。3.假設圓的面積S ( r ) = C r^2，那麼考慮圓中一個扇形的面積。假設這個扇形的弧邊長度是 ar，那麼由於圓形的對稱性，扇形的面積和整個圓形面積的比值應該等於弧長和圓周長的比值S(扇形)/S(圓形) = ar/圓周長4.在弧長趨於0的時候，可以將扇形看成是以弧長ar為高，半徑 r 為底的三角形，面積約等於 ar^2/2，所以a趨於0的時候，ar^2/2Cr^2 ~ ar/圓周長也就是說，圓周長/2r = C所以C等於圓周率π。