拉格朗數乘法用來求解有約束條件的極值問題。比如：

舉例：

求：雙曲線xy=3上離遠點最近的點。

用垂直於z軸的等間距平面去切割空間曲面，得到等值面圖：

可以看到等值線越靠外，函式值越大，因此在xy=3這個雙曲線的限制條件下，想象等值線的圓形在變大，一直到兩個曲線相切時，函式有極小值，最小值點發生在等值線與xy=3雙曲線相切時。很顯然有兩個點都能達到極小值。

再想：兩個曲線（多維是曲面）相切時，意味著各自切線平行，也意味著各自法線平行！法線就是梯度向量！問題已經解決了。

再從另一個角度理解，最值點在沿著xy=3曲線上，函式f(x,y)的變化率為0的地方，即過此點的等值線（面）。

透過這個例子找到了拉格朗日乘數法的一般解決方案，另外，國內教材一般先建構函式

另外用拉格朗日乘數法求出極值點，是不能確定極大值點或極小值點，且不能用二階偏導來確定，因為受限於條件，需用實際問題的意義來判定。