這個結論其實也可以這樣表述：

實數域上的不可約多項式只有一次和二次的。

這個是對的。

我們可以用代數學基本定理來做一個簡單的證明：

代數學基本定理：任何復係數一元 次多項式 方程在複數域上至少有一根 。 （該定理證明略）

假設存在n次 的實係數不可約多項式，記為

若 有至少一個實根，取其中一個實根 ;

不難驗證 是 的真子因式，與 不可約矛盾！

若 無實根，依代數學基本定理知 至少有一復根 ，

故 ；

依 為實係數的知 ，故對上式取共軛有：

，這表明 也是 的復根。

而 為實係數二次多項式 的兩個復根，

從而 為 的因式；

且 ，故 為真子因式，這與 不可約矛盾！

綜上所述：實數域上不存在三次及以上的不可約多項式。

並且一次與二次的不可約多項式是可以構造出來的，故我們斷言：

實數域上的不可約多項式只有一次和二次的。

ps：複數域上不可約因式只有一次的，而有理數域上可以構造出任意次的不可約多項式。