先給出結論“對任意給定的?∈（0，1），總存在正整數N，當n≥N時，恆有|xn-a|≤2?”是“數列{xn}收斂於a”的充分必要條件；下面給出證明過程．

充分性證明：

已知對任意給定的?∈（0，1），總存在正整數N，當n≥N時，恆有|xn-a|≤2?，

則對任意0＜?1＜1，取?＝

1

3

?1＞0，存在正整數N，當n≥N時，恆有|xn?a|≤2?＜

2

3

?1＜?1，令N1=N-1，

則滿足對任意?1＞0，總存在正整數N1，當n≥N1時，恆有|xn-a|＜?1

即數列{xn}收斂於a

必要性證明：

已知數列{xn}收斂於a，等價於：對任意?1＞0，總存在正整數N1，當n≥N1時，恆有|xn-a|＜?1

顯然透過放縮：就能得證對任意給定的?∈（0，1），總存在正整數N，當n≥N時，恆有|xn-a|≤2?