作圖，利用向量加法的三角形法則可以證明。

由向量和複數的一一對應關係，因為複數加法滿足結合律，所以向量加法也有結合律。

這個是個比較基礎的問題。涉及數學基礎上的一些概念，我只能說一個思路：

1.先搞清楚自然數是怎麼定義的。(涉及到集合論，後繼，序）

2.然後在定義的這個結構（自然數集）上定義一種運算（即一種2元函式）

定義方法如下：

f(a,1)=a" a"即a的後繼

f(a,0)=a

f(a,b)=f(b,a) (即交換律是定義的)

f(a,f(b,c))=f(f(a,b),c) （即結合率）

3.然後證明這個定義是合理的，即按這種定義定義的2元函式存在且唯一。

4.最後驗證這個定義恰好和我們平常的加法一樣，也就是說加法具有交換律。

在更一般的數學結構（比如說群）上，交換律也一般作為定義或類似於公理的形式給出。當然類似的證明也是存在的，但是很麻煩。