我們不妨設任一組勾股數：a,b,c，且令a^2+b^2=c^2再引進兩個整數p>q>0，令a=p^2-q^2，b=2pq，則c=p^2+q^2假設a,b,c裡邊沒有一個是5的倍數。那麼a=p^2-q^2=(p+q)(p-q)，b=2pq，因此p,q,p+q和p-q都不是5的倍數。於是，設任意非負整數m,np和q的組成形式只有：1.p=5m+1，q=5n+2(或p=5m+2，q=5n+1)2.p=5m+1，q=5n+3(或p=5m+3，q=5n+1)3.p=5m+2，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+2)4.p=5m+3，q=5n+4(或p=5m+4，q=5n+3)<括號內不影響證明>因此對於c=p^2+q^21.c=(5m+1)^2+(5n+2)^2=25m^2+10m+25n^2+20n+5【或c=(5m+2)^2+(5n+1)^2=25m^2+20m+25n^2+10n+5】，是5的倍數。對於2.3.4情況同理。與假設矛盾。故a.b.c中必然有一個為5的倍數。即一組勾股數中必然有一個數是5的倍數。得證。 希望對您有幫助。