泰勒公式的推導運用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n階展開式，並使誤差項Rn(x)為(x-x0)^n的高階無窮小，就要用柯西中值定理證明餘項Rn(x)是存在的，而且是可求出來的。在所給出的展開式中，Rn(x)被寫在最後一項，把前面的n個含(x-x0)的代數式以及f(x0)都減到f(x)的一邊,就得到了Rn(x)的表示式，因為題設f(x)有n+1階導數，且(x-x0)^n的係數由f(x)的前n階導數給出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0點的前n階導數都為零，第n+1階導數時，(x-x0)^n求導後全部導成常數零，等號這邊只剩了n+1階可導的f(x)。即你第一處紅筆畫線處成立。這樣在n次使用柯西中值定理後，未知的Rn(x)的n+1階導數可由f(x)的n+1階導數所替換。Rn(x)被精確表示。第二。泰勒展開是在某點對f(x)進行展開，從而估計這一點附近的f(x)的值，使e^x這樣無法求值的函式可求。所以x是在一個小區間(x0附近)來取值的，因此f n+1(x)有界，可設為M 。這樣就可以對所造成的誤差作最壞的估計，從而保證估值的精確。
泰勒公式的推導運用了多次柯西中值定理，目的是，要找到f(x)的n階展開式，並使誤差項Rn(x)為(x-x0)^n的高階無窮小，就要用柯西中值定理證明餘項Rn(x)是存在的，而且是可求出來的。在所給出的展開式中，Rn(x)被寫在最後一項，把前面的n個含(x-x0)的代數式以及f(x0)都減到f(x)的一邊,就得到了Rn(x)的表示式，因為題設f(x)有n+1階導數，且(x-x0)^n的係數由f(x)的前n階導數給出，自然有Rn(x0)=0，Rn在x0點的前n階導數都為零，第n+1階導數時，(x-x0)^n求導後全部導成常數零，等號這邊只剩了n+1階可導的f(x)。即你第一處紅筆畫線處成立。這樣在n次使用柯西中值定理後，未知的Rn(x)的n+1階導數可由f(x)的n+1階導數所替換。Rn(x)被精確表示。第二。泰勒展開是在某點對f(x)進行展開，從而估計這一點附近的f(x)的值，使e^x這樣無法求值的函式可求。所以x是在一個小區間(x0附近)來取值的，因此f n+1(x)有界，可設為M 。這樣就可以對所造成的誤差作最壞的估計，從而保證估值的精確。