A、∵{an}是等比數列，則由“a1＜a2＜a3”可得數列{an}是遞增數列，故充分性成立．若數列{an}是遞增數列，則一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．綜上，“a1＜a2＜a3”是“數列{an}是遞增數列”的充分必要條件，故A正確；B、若“a1＜a3＜a5”則q2＞1，q＞1或q＜-1，若q＞1此時“數列{an}是遞增數列”成立，若q＜-1時，數列{an}不是遞增數列，故B錯誤；C、數列{an}的前n項和為Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，若數列{an}是遞增數列，則數列{Sn}不一定是遞增數列，如當an＜0 時，數列{Sn}是遞減數列；由數列{Sn}是遞增數列，不能推出數列{an}的各項均為正數，如數列：0，1，2，3，…，滿足{Sn}是遞增數列，但不滿足等比數列{an}，故C錯誤；D、若等比數列首項為正數，且公比大於1，可以推出等比數列{an}為遞增數列；若等比數列{an}為遞增數列，可以取a1＜0，0＜q＜1，∴an＜0，==q＜1，∴an＜an+1，則滿足{an}是遞增數列，不需要首項為正數，公比q大於1，故D錯誤；故選A；
A、∵{an}是等比數列，則由“a1＜a2＜a3”可得數列{an}是遞增數列，故充分性成立．若數列{an}是遞增數列，則一定有a1＜a2＜a3，故必要性成立．綜上，“a1＜a2＜a3”是“數列{an}是遞增數列”的充分必要條件，故A正確；B、若“a1＜a3＜a5”則q2＞1，q＞1或q＜-1，若q＞1此時“數列{an}是遞增數列”成立，若q＜-1時，數列{an}不是遞增數列，故B錯誤；C、數列{an}的前n項和為Sn，故 Sn =a1+a2+a3+…+an，若數列{an}是遞增數列，則數列{Sn}不一定是遞增數列，如當an＜0 時，數列{Sn}是遞減數列；由數列{Sn}是遞增數列，不能推出數列{an}的各項均為正數，如數列：0，1，2，3，…，滿足{Sn}是遞增數列，但不滿足等比數列{an}，故C錯誤；D、若等比數列首項為正數，且公比大於1，可以推出等比數列{an}為遞增數列；若等比數列{an}為遞增數列，可以取a1＜0，0＜q＜1，∴an＜0，==q＜1，∴an＜an+1，則滿足{an}是遞增數列，不需要首項為正數，公比q大於1，故D錯誤；故選A；