這個數列的極限

lim(n→∞）（1+1/n）^n=e

是有界函式，因此要證明其是遞增數列，那麼就要是證明自然對數是遞增數列就可以了

令f(n)=ln（1+1/n）^n=nln(1+1/n)

證明當n>0時，f"(n)>0即可

f"(n)=ln(1+1/n)+n*1/（1+1/n）*(-1/n^2)

=ln(1+1/n)-1/(n+1)

=ln[(1+1/n)*(n+1)]

=ln[(n+1)^2/n]

=ln(n+2+1/n)≥ln4>0

因此f(n)在n>0時是單增函式，因此g(n)=（1+1/n）^n為單增函式，（1+1/n）^n為遞增數列。

擴充套件資料：

遞增數列的性質

1、集合中的元素是互異的，而數列中的項可以是相同的。

2、集合中的元素是無序的，而數列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的。

3、遞增數列的一般形式可以寫成：a1,a2,a3,…,an,an+1,an+2,…

其中，an+1≥an(n≥1，且n為整數)