級數∑1/2^n與∑1/3^n都是等比級數，
公比分別是1/2與1/3，所以收斂。根據級數性質，原級數收斂
令a=3/[√2+(-1)^n]>=3/(√2+1)>1，
limn→∞ {n^3[√2+(-1)^n]^n}/3^n
=limn→∞ n^3/a^n
=limn→∞ 6/[a^n*(lna)^3]
=0
所以該級數收斂。
【方法指導】
極限審斂法:
∵lim(n→∞)n*un=(3/2)^n=+∞
∴un發散.
比值審斂法:
un+1=3^(n+1)/[(n+1)*2^(n+1)]=3^n*3/[(n+1)*2^n*2]
un+1/un=3n/(2n+2)
lim(n→∞)un+1/un=3/2>1,∴發散
根值審斂法:
n^√un=3/2*n^√(1/n)=3/2*(1/n)^(1/n)
令t=1/n,則當n→∞時t→0,t^t→1
∴lim(n→∞)n^√un=3/2>1,發散.
級數∑1/2^n與∑1/3^n都是等比級數，
公比分別是1/2與1/3，所以收斂。根據級數性質，原級數收斂
令a=3/[√2+(-1)^n]>=3/(√2+1)>1，
limn→∞ {n^3[√2+(-1)^n]^n}/3^n
=limn→∞ n^3/a^n
=limn→∞ 6/[a^n*(lna)^3]
=0
所以該級數收斂。
【方法指導】
極限審斂法:
∵lim(n→∞)n*un=(3/2)^n=+∞
∴un發散.
比值審斂法:
un+1=3^(n+1)/[(n+1)*2^(n+1)]=3^n*3/[(n+1)*2^n*2]
un+1/un=3n/(2n+2)
lim(n→∞)un+1/un=3/2>1,∴發散
根值審斂法:
n^√un=3/2*n^√(1/n)=3/2*(1/n)^(1/n)
令t=1/n,則當n→∞時t→0,t^t→1
∴lim(n→∞)n^√un=3/2>1,發散.