如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點P滿足∠APD=∠APB=x,且∠BPC=∠CPD=β,則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.(1)在圖(3)正方形ABCD內畫一個半等角點P,且滿足x≠β.(2)在圖(4)四邊形ABCD中畫出一個半等角點P.(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點P1.P2(如圖(2)),證明線段P1P2上任意一點也是它的半等角點. 解(1）根據分析（1）作圖，圖略． (2)畫點B關於AC的對稱點B′，延長DB′交AC於點P，點P為所求，具體畫圖略． (3)連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據題意， ∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C， ∴∠AP1B ∠BP1C=180°． ∴P1在AC上， 同理，P2也在AC上． 在△DP1P2和△BP1P2中， ∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共， ∴△DP1P2≌△BP1P2． 所以DP1=BP1，DP2=BP2，於是B、D關於AC對稱.設P是P1P2上任一點， 連結PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC， 所以點P是四邊形的半等角點．
如圖(1),凸四邊形ABCD,如果點P滿足∠APD=∠APB=x,且∠BPC=∠CPD=β,則稱點P為四邊形ABCD的一個半等角點.(1)在圖(3)正方形ABCD內畫一個半等角點P,且滿足x≠β.(2)在圖(4)四邊形ABCD中畫出一個半等角點P.(3)若四邊形ABCD有兩個半等角點P1.P2(如圖(2)),證明線段P1P2上任意一點也是它的半等角點. 解(1）根據分析（1）作圖，圖略． (2)畫點B關於AC的對稱點B′，延長DB′交AC於點P，點P為所求，具體畫圖略． (3)連P1A、P1D、P1B、P1C和P2D、P2B，根據題意， ∠AP1D=∠AP1B，∠DP1C=∠BP1C， ∴∠AP1B ∠BP1C=180°． ∴P1在AC上， 同理，P2也在AC上． 在△DP1P2和△BP1P2中， ∠DP2P1=∠BP2P1，∠DP1P2=∠BP1P2，P1P2公共， ∴△DP1P2≌△BP1P2． 所以DP1=BP1，DP2=BP2，於是B、D關於AC對稱.設P是P1P2上任一點， 連結PD、PB，由對稱性，得∠DPA=∠BPA，∠DPC=∠BPC， 所以點P是四邊形的半等角點．