用幾個基本原理可以說明為什麼長方形面積等於長乘寬。

首先兩個全等的圖形面積完全相等。

一個長方形如果長為 ，寬為 ，面積函式可表示為 。交換 邊，可得到一個面積完全相等的長方形，所以 。

兩個圖形拼起來的面積是兩者之和。對於長相等的長方形，將它們對齊長邊，把寬邊拼在一起，可以形成另一個長方形，寬是兩者之和。所以 。

由此可得：

因為長方形長、寬、面積均為正，有， ，所以 單調遞增。因為 ，所以對於有理數 ，有 。關於連續（即證明 在趨向於0時極限為0，首先趨向於0時單調遞減有下界，所以極限一定存在，其次用第二條證明 可以任意接近於0，因此 。因為 關於連續，對於任意實數， ，所以 。同理 。

所以一個長為 ，寬為 的長方形面積是 長方形面積的 倍。為了使用方便，可以規定長為1,寬為1的長方形面積 ，因此 。

所以，原始的定義不是定義長方形的面積公式，而是定義單位正方形的面積為1，任意長寬的長方形都可以由單位正方形或更小的正方形拼接出來。