答： 題目太混亂，讓人眼花繚亂。 應當分開來說：

1÷9=0.1迴圈 ， 是對的； 1÷9×9=1 也是對的；0.1迴圈×9=0.9×迴圈，也可以這麼說；

至於0.9 迴圈=1，嚴格的說， 1是一個有理數，而0.9……是無理數，有理數和無理數怎麼可以相等，所以1不等於0.9迴圈； 但也可以近似的認為0.9迴圈=1，證明方法也有好幾種：

（1） 設x=0.9999999999999……, 則 10x=9.99999999999……,

兩邊同時相減 得 10x-x=9 ， 9x=9， x=1;

（2） ∵ 1/9=0.1迴圈， 即 0.1迴圈=1/9，

而0.9迴圈=0.1迴圈×9=(1/9)×9=1；

（3） ∵ 0.3迴圈×3=0.9迴圈 ，而0.3迴圈=1/3 ，0.3迴圈×3=1/3×3=1，

∴ 0.9迴圈=0.3迴圈×3=1 。

等等。