令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).顯然上述三函式均連續。
易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一點x=x0，使
h(xo)=o,即：
f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：
e^x=ax^2在(-∞，0）上有一實根。
因e^x=ax^2,將方程右邊改寫左邊的形式，當x＞0時，有
x=lna+2lnx (指數相等）
令u(x)=x-lna-2lnx 有
u"(x)=1-2/x
令u"(x1)=o 可得x1=2 並有
x＜x1時，u"(x)＜0; x＞x1時，u"(x)＞0.由此可知x=x1為極小值。
因此，為使方程有根，必須h(x1)≤0,即：
a≥e^2/4 且
u(+∞)＞0
用洛必塔法則易證出x大於lnx,所以
u(+∞)＞0成立。
綜上所述：
0＜a＜e^2/4時，方程只有1實根；
a=e^2/4時，有2實根；
a＞e^2/4時，有3實根。
令f(x)=e^x,g(x)=ax^2,h(x)=f(x)-g(x).顯然上述三函式均連續。
易得h(-∞)＜0,h(0)＞0,因此必存在一點x=x0，使
h(xo)=o,即：
f(xo)=e^xo=g(xo)=axo^2 即：
e^x=ax^2在(-∞，0）上有一實根。
因e^x=ax^2,將方程右邊改寫左邊的形式，當x＞0時，有
x=lna+2lnx (指數相等）
令u(x)=x-lna-2lnx 有
u"(x)=1-2/x
令u"(x1)=o 可得x1=2 並有
x＜x1時，u"(x)＜0; x＞x1時，u"(x)＞0.由此可知x=x1為極小值。
因此，為使方程有根，必須h(x1)≤0,即：
a≥e^2/4 且
u(+∞)＞0
用洛必塔法則易證出x大於lnx,所以
u(+∞)＞0成立。
綜上所述：
0＜a＜e^2/4時，方程只有1實根；
a=e^2/4時，有2實根；
a＞e^2/4時，有3實根。