感謝 @Riinn 找到的證明，我給一個不依賴物理上的能量解釋，而是基於他的一部分證明從純粹的幾何角度進行的證明：假設現在有兩個共焦和的橢圓一大一小，分別為和，上有個點P，從P向做切線，相切於A和B。由Riinn的證明，很顯然。而因為為橢圓，做的平分線，則必然與經過P點的橢圓的切線相垂直。兩邊加上相等的和可得的平分線也為。這對於任意兩個橢圓都成立，所以我們假定某點P是恰好處於我們所得到的軌跡之上的。由定義，我們的軌跡顯然是凸曲線。若此軌跡不是橢圓，則必存在點M和點N，使得：此不等式的兩個等號不能都取到。若兩邊都不等，M和N分別在的內部和外部。我們所求的軌跡中的MPN段必與橢圓相交。然而因為我們是拉著繩子得到的軌跡，一根繩上的力相等，所以為了保持平衡，軌跡上的任何一點P的連線夾角的平分線必然與軌跡在此點P的切線相垂直。因為所求軌跡是凸曲線，而M和N分別在橢圓的兩側，所以曲線MPN和橢圓在P點不相切，卻又共享一條法線，矛盾。若不等式只有一邊不等，也可以取P以外的另一個點來做類似證明。