先證明：若向量組B能由向量組A線性表示，則A的秩等於[A B]的秩

先來個直觀上通俗的理解。你想啊，B都完全由A表示了，說明[A B]中B沒做任何貢獻，算秩沒他什麼事兒，所以[A B]的秩等於A的秩。令A的秩為r，A中r個線性無關的列向量為令[A B]的秩為s假設，那麼必然有，因為A中本來就有r個線性無關的列向量所以 [A B]中至少有一個向量v不能被線性表示因為A的秩為r, 所以，於是 所以向量組B中有一個向量不能被A線性表示，與已知矛盾於是命題得證------------------------ 充要條件的分割線 -------------------------再證明：如果A的秩等於[A B]的秩，那麼向量組B能由A線性表示這點其實沒那麼直觀，可以理解為[A B]中有貢獻的向量其實全在A裡頭令A和[A B]的秩均為r，A中r個線性無關的列向量為假設向量組B中存在一個列向量v不能由A線性表示那麼v一定能和構成r+1個線性無關的向量所以[A B]的秩至少為r + 1，與已知矛盾於是命題得證---------------------------- 總結分割線 ----------------------------題主要在「秩」、「線性無關」、「線性表示」這三個概念之間切換自如，多思考多練習就行。