(1)兩邊對x求導,得 y"=y"+xy""+y""+2y"y"" 可以發現方程化成了y""=f(x,y")的形式 y""(x+1+2y")=0 當x+1+2y"=0時,解得y=-1/4*(x+1)²+C 當y""=0時,解得y=C1x+C2.但 y"=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1² ∴解為y=Cx+C+C² (2)當x>0時,作換元x=e^t,或t=lnx,則 dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt d²y/dx²=-1/x²*dy/dt+1/x*d²y/dt²*dt/dx=1/x²*(d²y/dt²-dy/dt) ∴x²*y""=d²y/dt²-dy/dt,x*y"=dy/dt 代入原方程,得d²y/dt²-2dy/dt-8y=e^(2t) 對應的齊次方程為d²y/dt²-2dy/dt-8y=0,解得y0=C1e^(4t)+C2e^(-2t) 右邊是e^(2t),故可設特解為Y=ke^(2t),則Y"=2ke^(2t),Y""=4ke^(2t) ∴4ke^(2t)-4ke^(2t)-8ke^(2t)=e^(2t) k=-1/8,即Y=-1/8*e^(2t) ∴原方程的通解為C1e^(4t)+C2e^(-2t)-1/8*e^(2t) 又t=lnx,代入上式得通解y=C1x^4+C2x^(-2)-x²/8
(1)兩邊對x求導,得 y"=y"+xy""+y""+2y"y"" 可以發現方程化成了y""=f(x,y")的形式 y""(x+1+2y")=0 當x+1+2y"=0時,解得y=-1/4*(x+1)²+C 當y""=0時,解得y=C1x+C2.但 y"=C1,代入原方程中得C1x+C2=C1x+C1+C1²,∴C2=C1+C1² ∴解為y=Cx+C+C² (2)當x>0時,作換元x=e^t,或t=lnx,則 dy/dx=dy/dt*dt/dx=1/x*dy/dt d²y/dx²=-1/x²*dy/dt+1/x*d²y/dt²*dt/dx=1/x²*(d²y/dt²-dy/dt) ∴x²*y""=d²y/dt²-dy/dt,x*y"=dy/dt 代入原方程,得d²y/dt²-2dy/dt-8y=e^(2t) 對應的齊次方程為d²y/dt²-2dy/dt-8y=0,解得y0=C1e^(4t)+C2e^(-2t) 右邊是e^(2t),故可設特解為Y=ke^(2t),則Y"=2ke^(2t),Y""=4ke^(2t) ∴4ke^(2t)-4ke^(2t)-8ke^(2t)=e^(2t) k=-1/8,即Y=-1/8*e^(2t) ∴原方程的通解為C1e^(4t)+C2e^(-2t)-1/8*e^(2t) 又t=lnx,代入上式得通解y=C1x^4+C2x^(-2)-x²/8