一、三角形咱們假設現在已經找到了這麼一個點D，它到三角形三個頂點A，B，C的距離的最小值最大，假設它到三個頂點的距離是a,b,c，那麼這三個值一定至少有兩個是相等的。原因是，如果這三個值兩兩不同，比如說a<b<c，那麼我們總可以找到一個方向，把D朝那個方向移動一點點，使得新的點E到第一個頂點的距離變大一點點，比如從a變到a+u，同時到第二個頂點的距離變小一點點，比如從b變到b-v，並且a+u<b-v。c也在變，但是幅度很小，因此所求值就從a增大到了a+u。這和點D的假設矛盾。因此，所求的點一定在某兩個頂點的垂直平分線上。如果咱們隨機生成一些三角形，把距離大小用顏色亮暗來表示，就可以看得更加清楚。因為所要求的點是在多邊形內部，那麼只有兩種情況：1. 它是兩條垂直平分線的交點（上圖1）。2. 它是某條垂直平分線和某條邊的交點（上圖2和圖3），因此不是在內部，而是在邊界上。如果把範圍精確到多邊形內部（不包括邊界），就不存在最大值了，類似於開區間(0,1)內沒有最大值。二、多邊形對於多邊形的情況，因為構成它的任意三個頂點可以做出一個三角形，可以構造下面這種解法：1. 找到任意兩頂點的垂直平分線，找到過任意兩個頂點的直線，把這兩種直線攢起來。2. 計算上面直線集合中任意兩個條直線的交點，去掉在多邊形外部的點。3. 對剩下的交點，逐一計算它們到多邊形各頂點的距離的最小值，最小值最大的那個交點就是答案。下面是一些隨機生成的圖示，可以參考一下。