.二階常係數齊次線性微分方程解法

一般形式:y”+py’+qy=0,特徵方程r2+pr+q=0

特徵方程r2+pr+q=0的兩根為r1,r2 微分方程y”+py’+qy=0的通解

兩個不相等的實根r1,r2 y=C1er1x+C2er2x

兩個相等的實根r1=r2 y=(C1+C2x)er1x

一對共軛復根r1=α+iβ,r2=α-iβ y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

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2.1.二階常係數非齊次線性微分方程解法

一般形式: y”+py’+qy=f(x)

先求y”+py’+qy=0的通解y0(x),再求y”+py’+qy=f(x)的一個特解y*(x)

則y(x)=y0(x)+y*(x)即為微分方程y”+py’+qy=f(x)的通解

求y”+py’+qy=f(x)特解的方法:

① f(x)=Pm(x)eλx型

令y*=xkQm(x)eλx［k按λ不是特徵方程的根,是特徵方程的單根或特徵方程的重根依次取0,1或2］再代入原方程,確定Qm(x)的m+1個係數

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2.2.②f(x)=eλx［Pｌ(x)cosωx+Pn(x)sinωx］型

令y*=xkeλx［Qm(x)cosωx+Rm(x)sinωx］［m=max﹛ｌ,n﹜,k按λ+iω不是特徵方程的根或是特徵方程的單根依次取0或1］再代入原方程,分別確定Qm(x)和Rm(x)的m+1個係數