證明兩個矩陣相似的充要條件：

1、兩者的秩相等

2、兩者的行列式值相等

3、兩者的跡數相等

4、兩者擁有同樣的特徵值，儘管相應的特徵向量一般不同

5、兩者擁有同樣的特徵多項式

6、兩者擁有同樣的初等因子

若A與對角矩陣相似，則稱A為可對角化矩陣，若n階方陣A有n個線性無關的特徵向量，則稱A為單純矩陣。相似矩陣具有相同的可逆性，當它們可逆時，則它們的逆矩陣也相似。

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兩個矩陣的特徵值相等的時候不一定相似。

但當這兩個矩陣是實對稱矩陣時， 有相同的特徵值必相似。

比如當矩陣A與B的特徵值相同，A可對角化，但B不可以對角化時，A和B就不相似。

比如如下兩個矩陣

1 0 1 1

0 1和 0 1，

顯然它們的特徵值都是1，1

但是不能對角化，

因為1 1 不能找到兩個線性無關的特徵向量

0 1

注意n階矩陣A與對角陣相似的充要條件就是A有n個線性無關的特徵向量，不能只看特徵值。

所以當這兩個矩陣都是實對稱矩陣時，都一定可以對角化，於是有相同的特徵值就一定相似。