定義

目的是定義自然數集合，首先需要承認的是集合具有的一些運算性質，例如a=b時a,b代表的是同一個元素。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

Ⅰ 0是自然數；

Ⅱ 每一個確定的自然數a，都具有確定的後繼數a" ，a"也是自然數（數a的後繼數a"就是緊接在這個數後面的整數（a+1）。例如，1"=2，2"=3等等。）

可是僅有這兩個公理還不夠完整地描述自然數，因為滿足這兩條的有可能不是自然數系統。比如考慮由 0, 1 構成的數字系統，其中1的後繼為0。這不符合我們對於自然數系統的期望，因為它只包含有限個數。因此，我們要對自然數結構再做一下限制：

Ⅲ 0不是任何自然數的後繼數；

但這裡面的漏洞防不勝防，此時仍不能排除如下的反例：數字系統 0, 1, 2, 3，其中3的後繼是3。看來，我們設定的公理還不夠嚴密。我們還得再加一條。

Ⅳ不同的自然數有不同的後繼數，如果自然數b、c的後繼數都是自然數a，那麼b=c；

最後，為了排除一些自然數中不應存在的數（如 0.3），同時也為了滿足一會兒制定運算規則的需要，我們加上最後一條公理。

Ⅴ設S⊆N，且滿足2個條件（i）0∈S；（ii）如果n∈S，那麼n"∈S。則S是包含全體自然數的集合，即S=N。(這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性)

注：歸納公理可以用來證明0是唯一不是後繼數的自然數，因為令命題為“n=0或n為其它數的後繼數”，那麼滿足歸納公設的條件。

若將只考慮正整數，則公理中的0要換成1，自然數要換成正整數。