設雙曲線上任意一點的座標為M(x,y),｜F1F2｜=2c,並設F1(-c,0),F2(c,0).

2.由兩點間距離公式,得｜MF1｜=√(x+c)^2+y^2,｜MF2｜=√(x-c)^2+y^2

3.由雙曲線定義,得｜MF1｜－｜MF2｜=±2a,

即√(x+c)^2+y^2 －√(x-c)^2+y^2 =±2a.

4.化簡方程√(x+c)^2+y^2=±2a+√(x-c)^2+y^2

兩邊平方,得(x+c)^2+y^2=4a^2+(x-c)^2+y^2±4a√(x-c)^2+y^2,

化簡得：cx-a^2=±√(x-c)^2+y^2

兩邊再平方,整理得(c^2-a^2)x^2-a^2 y^2=a^2 (c^2-a^2).

(為使方程簡化,更為對稱和諧起見.)

5.由2c-2a＞0,即c＞a,所以c^2-a^2＞0.

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在這裡做一個假設【c^2-a^2=b^2】 (b＞0),代入上式,得

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b^2 x^2 - a^2 y^2 = a^2 b^2,

同除以a^2 b^2：

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

也就是常用的雙曲線公式

所以"b"這個值基本上是被定義出來的

原本雙曲線為：x^2/a^2 - y^2/c^2-a^2 = 1

如果假設c^2-a^2=b^2 （ 即 c^2 = a^2 + b^2 ）

雙曲線公式可以簡化成 x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

橢圓亦是同理