設三角形頂點座標A(x0,y0)，B(x1,y1)，C(x2,y2)。

平面上任意點P(x,y)。則P於三頂點距離平方和為

S＝(x-x0)^2+(y-y0)^2+(x-x1)^2+(y-y1)^2+(x-x2)^2+(y-y2)^2

=[(x-x0)^2+(x-x1)^2+(x-x2)^2]

+[(y-y0)^2+(y-y1)^2+(y-y2)^2]

=[3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2]

+[3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2]

注意到中括號中的內容為平方和恆大於0。

因此當兩個中括號中的內容都取得最小值時，S才能取得最小值。

3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2是以x為自變數的拋物線，二次項係數大於0，開口向上，根據拋物線的性質，當

x=-b/(2a)

=2(x0+x1+x2)/(2*3)

=(x0+x1+x2)/3

時，3*x^2-2(x0+x1+x2)*x+x0^2+x1^2+x2^2取得最小值。

同理

y=(y0+y1+y2)/3時，3*y^2-2(y0+y1+y2)*y+y0^2+y1^2+y2^2取得最小值。

可以透過重心的定義得出，上面的P點就是三角形的重心。

擴充套件資料：

重心的性質

1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。

2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。

3、重心到三角形3個頂點距離的平方和最小。

4、在平面直角座標系中，重心的座標是頂點座標的算術平均，即其座標為((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空間直角座標系——橫座標：(X1+X2+X3)/3縱座標：(Y1+Y2+Y3)/3 豎座標：（Z1+Z2+Z3）/3

5、重心是三角形內到三邊距離之積最大的點。