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  • 1 # jxf93042917

    ∫1/sin³x dx=(-1/2)cscx*cotx + (1/2)ln|cscx - cotx| + C。C為積分常數。

    解答過程如下:

    ∫1/sin³x dx

    =∫csc³x dx

    =∫cscx*csc²x dx

    =∫cscx d(-cotx)

    =-cscx*cotx + ∫cotx d(cscx),分部積分法

    =-cscx*cotx + ∫cotx*(-cscxcotx) dx

    =-cscx*cotx - ∫cscx*cot²x dx

    =-cscx*cotx - ∫cscx*(csc²x-1) dx,恆等式csc²x=1+cot²x

    =-cscx*cotx - ∫csc³x dx + ∫cscx dx,將-∫csc³x dx移項

    ∵2∫csc³x dx = -cscx*cotx + ∫cscx dx,注意∫cscx dx = ln|cscx - cotx| + C

    ∴∫csc³x dx = (-1/2)cscx*cotx + (1/2)ln|cscx - cotx| + C

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