1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
三角形重心
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC於H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA"、BOB"、COC"分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：
OA"=1/3AA"
OB"=1/3BB"
OC"=1/3CC"
過O，A分別作a邊上高OH"，AH
可知OH"=1/3AH
則，S △BOC=1/2×OH"a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC
同理可證S △AOC=1/3S △ABC
S △AOB=1/3S △ABC
所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）
1、重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1。
三角形重心
例：已知：△ABC，E、F是AB，AC的中點。EC、FB交於G。
求證：EG=1/2CG
證明：過E作EH∥BF交AC於H。
∵AE=BE，EH//BF
∴AH=HF=1/2AF(平行線分線段成比例定理)
又∵ AF=CF
∴HF=1/2CF
∴HF:CF=1/2
∵EH∥BF
∴EG:CG=HF:CF=1/2
∴EG=1/2CG
三角形重心
2、重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等。
證明方法：
在△ABC內，三邊為a，b，c，點O是該三角形的重心，AOA"、BOB"、COC"分別為a、b、c邊上的中線。根據重心性質知：
OA"=1/3AA"
OB"=1/3BB"
OC"=1/3CC"
過O，A分別作a邊上高OH"，AH
可知OH"=1/3AH
則，S △BOC=1/2×OH"a=1/2×1/3AHa=1/3S △ABC
同理可證S △AOC=1/3S △ABC
S △AOB=1/3S △ABC
所以，S △BOC=S △AOC=S △AOB
3、重心到三角形3個頂點距離平方的和最小。 (等邊三角形）