ρ(θ) = a(1 - cosθ)

ρ"(θ) = asinθ

第一，要求重心座標，在知道線密度的情況下還需要知道這個曲線的質量，即要求曲線的長度，即求曲線的第一型曲線積分，根據極座標我們可以看到，這個曲線是關於x軸對稱的，因此我們可以只對x軸以上的部分(0

I = ∫ds = ∫√[(ρ(θ))^2 + (ρ"(θ))^2] dθ = a∫√[(1-cosθ)^2 + (sinθ)^2] dθ = a∫√(2-2cosθ) dθ

又 2-2cosθ = 2 - 2(1 - 2(sin(θ/2))^2) = 4(sin(θ/2))^2

因此√4(sin(θ/2))^2 = 2sin(θ/2) (根據θ的範圍開方不帶負號)

故而原積分為 I = a∫2sin(θ/2)dθ = 4a∫sin(θ/2)d(θ/2) = -4acos(θ/2)

積分割槽間為0到π，可得結果為 I = -4a(cos0.5π) - (-4acos0) = 4a

那麼整個曲線的長度就是8a，可得整個曲線的重量為 G = 8μa 。

根據重心的公式有

Xc = (∫μxds)/G

Yc = (∫μyds)/G

由於前面已經說過，圖形是關於x軸對稱的，因此必有 Yc = 0 ，故而只需要求 Xc 即可。

Xc = (∫μxds)/G = [∫μ(a(1-cosθ)cosθ)·(2asin(θ/2))·dθ]/G = - 11a/15

故重心座標為 (-11a/15 , 0)

轉動慣量公式為

Ix = ∫(y^2)μds = ∫μ(a(1-cosθ)sinθ)^2·(2asin(θ/2))dθ

= -4μa^3∫(sinθ)^2(1-cosθ)^2d[cos(θ/2)]

= -4μa^3∫(2sin(θ/2)cos(θ/2)]^2·[2sin(θ/2)]^2d[cos(θ/2)]

= -64μa^3∫(t^6 - 2t^4 + t^2)dt ( t=cos(θ/2) ，相應的積分割槽間變換為上限0，下限1)

= -64μa^3[(1/7)t^7 - (2/5)t^5 + (1/3)t^3] |(1→0)

= 64μa^3[(1/7) - (2/5) + (1/3)] = (512/105)μa^3

上述求的是0到π的積分，根據對稱性，總的關於x的轉動慣量為2Ix = (1024/105) μa^3

Iy = ∫(x^2)μds

求法同上，過程略。