回覆列表
  • 1 # 使用者2893793678133

    a³+b³=a³+a²b-a²b+b³=a²(a+b)-b(a²-b²)=a²(a+b)-b(a+b)(a-b)

    =(a+b)[a²-b(a-b)]=(a+b)(a²-ab+b²)

    a³-b³=a³-a²b+a²b-b³=a²(a-b)+b(a²-b²)=a²(a-b)+b(a+b)(a-b)

    =(a-b)[a²+b(a+b)]=(a-b)(a²+ab+b²)

    公式證明

    ⒈迭代法:  

    我們知道:

    0次方和的求和公式ΣN^0=N 即1^0+2^0+...+n^0=n

    1次方和的求和公式ΣN^1=N(N+1)/2 即1^1+2^1+...+n^1=n(n+1)/2

    2次方和的求和公式ΣN^2=N(N+1)(2N+1)/6 即1^2+2^2+…+n^2=n(n+1)(2n+1)/6——平方和公式,此公式可由同種方法得出,取公式(x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1,迭代即得。

    取公式:(X+1)^4-X^4=4×X^3+6×X^2+4×X+1

    係數可由楊輝三角形來確定

    那麼就得出:

    (N+1)^4-N^4=4N^3+6N^2+4N+1…………⑴

    N^4-(N-1)^4=4(N-1)^3+6(N-1)^2+4(N-1)+1…………⑵

    (N-1)^4-(N-2)^4=4(N-2)^3+6(N-2)^2+4(N-2)+1…………⑶

    …………

    2^4-1^4=4×1^3+6×1^2+4×1+1…………(n)

    於是⑴+⑵+⑶+……+(n)有

    左邊=(N+1)^4-1

    右邊=4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N

    所以:

    把以上這已經證得的三個公式代入

    4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+6(1^2+2^2+3^2+……+N^2)+4(1+2+3+……+N)+N=(N+1)^4-1

    得4(1^3+2^3+3^3+……+N^3)+N(N+1)(2N+1)+2N(N+1)+N=N^4+4N^3+6N^2+4N

    移項後得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+4N^3+6N^2+4N-N-2N^2-2N-2N^3-3N^2-N)

    等號右側合併同類項後得 1^3+2^3+3^3+……+N^3=1/4 (N^4+2N^3+N^2)

    1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

    立方和公式推導完畢

    1^3+2^3+3^3+……+N^3= 1/4 [N(N+1)]^2

    2. 因式分解思想證明如下:

    a^3+b^3=a^3+a^2×b+b^3-a^2×b 

    =a^2(a+b)-b(a^2-b^2)=a^2(a+b)-b(a+b)(a-b)

    =(a+b)[a^2-b(a-b)]=(a+b)(a^2-ab+b^2)

  • 中秋節和大豐收的關聯?
  • 馬六空調膨脹閥堵了怎麼辦?