設 K 是數域，可以是實數域 R 或 複數域 C，V 是 K 上的線性空間，對於 V 上的 n 元函式 f: V × ... × V → K（n 個 V），若 f 滿足多線性，即（α_j, β_j ∈ V, j = 1, 2, ..., n, k ∈ K ），
則稱 f 為 線性函式，若，函式 f 還滿足反對稱性，即，任意互換兩個引數函式值取負（i ≠ j; i,j = 1, 2, ..., n），
則稱 f 為 反對稱線性函式。
K 上的 n 階矩陣 的全體 記為 M_n(K)。考慮，M_n(K) 上的函式 det : M_n(K) → K，對於 任意 A ∈ M_n(K) ，
由於 A 可看作 n 維度向量空間 K^n 中的 n 個列向量 α_1, α_2, ..., α_n ∈ K^n 組成的列向量組：
所以 函式 det 也可以看作 K^n 上的 n 元函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n)。規定 det 是 反對稱線性函式，因為 det 是以 矩陣的列向量為引數的，所以暫時稱 det 是 矩陣的列線性函式。
反對稱函式有性質：若，反對線性函式 f 的任意兩個引數相同，則，f 的值必然為 0，因為：
注：從這條性質也可以反推出反對稱性，另外，只需要保證 滿足“條件：相鄰兩個引數相同函式值為零”就可推出上面任意的情況，因此 該條件 也可以作為反對稱性的定義。
如果 方陣 A 不滿秩，即，r (A) < n，則說明： 必有 列向量 α_j 被他向量向量線性表示，即，
於是 根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i,j) 相當於交換 A 的 i, j 兩列，即（不妨設 i < j），
於是，根據 det 的反對稱性有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i(k)) 相當於在 A 的 第 i 列乘以常數 k，即，
於是，根據 det 的多線性有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i, j(k)) 相當於把 A 的 第 i 列乘以常數 k 加到 第 j 列，即（不妨設 i < j），
於是，根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：
綜上的可以得出對於初等矩陣 P 有：
考慮 det(Aᵀ) 和 det(A) 的關係：
當 r(A) < n 時，由於轉置不改變 A 的秩，於是有 r(Aᵀ) = r(A) < 0，進而 det(Aᵀ) = 0 = det(A)；下面重點分析當 A 滿秩，即， r(A) = n 時的情況。
因為方陣左右（左）乘初等矩陣相當於對方陣做對應的初等列（行）變換，再根據高斯消元法的經驗，以及初等變換的可逆性，可得出任何矩陣 A 均可化為 初等矩陣的相乘的形式，即：
其中 D 是矩陣標準形。由於初等變換不改變矩陣的秩，於是 r(A) = r(D)，當 A 滿秩時，D 也滿秩，而 E 是唯一滿秩的 方陣的標準形，於是這時有：
即，
於是：
因為 E(i,j)ᵀ = E(i,j)，E(i(k))ᵀ = E(i(k))，E(i,j(k))ᵀ = E(j, i(k)) 所以有：
進而：
綜上，可得：
這說明 矩陣的列線性函式 det 也是 該矩陣的行線性函式，於是在新增規定：
後 改稱 det 為 行列式函式。
行列式函式 det 是唯一的，因為：
令 det" 是另外一個 行列式函式，在方陣 A 不滿秩時，有 det"(A) = 0 = det(A)；在方陣 A 不滿秩時滿秩時，有 A = EP_1...P_m，於是和上面的推導同理有：
而 在新新增規定下 det(E) = det"(E) = 1，於是 det"(A) = det(A)。
綜上就證明了：對於任意 方陣 A 在任何情況下，det"(A) = det(A)，即，det 唯一。
利用新新增規定，顯然有：
考慮 det(AB)。當 A 和 B 不都滿秩時，r(AB) = min{r(A), r(B)} < n ，於是：
當 A B 全滿秩時，則有：
綜上就證明了：行列式函式保持方陣乘法運算，即，
注：其實從 det(AB) = det(A)det(B) 也可以反推 det(E) = 1，不過要新增條件 det 非恆零。（可考慮作為 行列式函式 定義中最後新增的規定，感覺更高大上一些）
設 n 階單位矩陣 E 的行向量組表示為：
則有：
其中 (j_1, ..., j_n) 是 1, ..., n 個數字的任意排列，於是 (e_{j_1}, ..., e_{j_n}) 就是 對 E 列向量的任意排列，於是必有：
其中 N(j_1, ...,j_n) 稱為 排列 (j_1, ..., j_n) 的 反序數，於是：
最終得到：
上面等式右邊就是行列式函式 det 的解析表示式，稱為 行列式，記為 |A|。
從行列式的推導過程，知道 行列式 是 向量空間 K^n 上的一個特殊的 n 元線性函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n） 而我們知道，K^n 上的 n 元線性函式 就是 K^n 上的 n 階協變張量。
單位矩陣 E 的 列向量組 e_1, e_2, ..., e_n 為 K^n 的 標準正交基，其在對偶空間 (K^n)* 下的對偶基 設為：e^1, e^2, ..., e^n，有：
令 α = (a_1, a_2, ..., a_2)ᵀ ，則：
於是 有：
其中：
即，行列式的本質是：
設 K 是數域，可以是實數域 R 或 複數域 C，V 是 K 上的線性空間，對於 V 上的 n 元函式 f: V × ... × V → K（n 個 V），若 f 滿足多線性，即（α_j, β_j ∈ V, j = 1, 2, ..., n, k ∈ K ），
則稱 f 為 線性函式，若，函式 f 還滿足反對稱性，即，任意互換兩個引數函式值取負（i ≠ j; i,j = 1, 2, ..., n），
則稱 f 為 反對稱線性函式。
K 上的 n 階矩陣 的全體 記為 M_n(K)。考慮，M_n(K) 上的函式 det : M_n(K) → K，對於 任意 A ∈ M_n(K) ，
由於 A 可看作 n 維度向量空間 K^n 中的 n 個列向量 α_1, α_2, ..., α_n ∈ K^n 組成的列向量組：
所以 函式 det 也可以看作 K^n 上的 n 元函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n)。規定 det 是 反對稱線性函式，因為 det 是以 矩陣的列向量為引數的，所以暫時稱 det 是 矩陣的列線性函式。
反對稱函式有性質：若，反對線性函式 f 的任意兩個引數相同，則，f 的值必然為 0，因為：
注：從這條性質也可以反推出反對稱性，另外，只需要保證 滿足“條件：相鄰兩個引數相同函式值為零”就可推出上面任意的情況，因此 該條件 也可以作為反對稱性的定義。
如果 方陣 A 不滿秩，即，r (A) < n，則說明： 必有 列向量 α_j 被他向量向量線性表示，即，
於是 根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i,j) 相當於交換 A 的 i, j 兩列，即（不妨設 i < j），
於是，根據 det 的反對稱性有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i(k)) 相當於在 A 的 第 i 列乘以常數 k，即，
於是，根據 det 的多線性有：
方陣 A 右乘 初等矩陣 E(i, j(k)) 相當於把 A 的 第 i 列乘以常數 k 加到 第 j 列，即（不妨設 i < j），
於是，根據 det 的多線性和上面的反對稱函式性質有：
綜上的可以得出對於初等矩陣 P 有：
考慮 det(Aᵀ) 和 det(A) 的關係：
當 r(A) < n 時，由於轉置不改變 A 的秩，於是有 r(Aᵀ) = r(A) < 0，進而 det(Aᵀ) = 0 = det(A)；下面重點分析當 A 滿秩，即， r(A) = n 時的情況。
因為方陣左右（左）乘初等矩陣相當於對方陣做對應的初等列（行）變換，再根據高斯消元法的經驗，以及初等變換的可逆性，可得出任何矩陣 A 均可化為 初等矩陣的相乘的形式，即：
其中 D 是矩陣標準形。由於初等變換不改變矩陣的秩，於是 r(A) = r(D)，當 A 滿秩時，D 也滿秩，而 E 是唯一滿秩的 方陣的標準形，於是這時有：
即，
於是：
因為 E(i,j)ᵀ = E(i,j)，E(i(k))ᵀ = E(i(k))，E(i,j(k))ᵀ = E(j, i(k)) 所以有：
於是：
進而：
綜上，可得：
這說明 矩陣的列線性函式 det 也是 該矩陣的行線性函式，於是在新增規定：
後 改稱 det 為 行列式函式。
行列式函式 det 是唯一的，因為：
令 det" 是另外一個 行列式函式，在方陣 A 不滿秩時，有 det"(A) = 0 = det(A)；在方陣 A 不滿秩時滿秩時，有 A = EP_1...P_m，於是和上面的推導同理有：
而 在新新增規定下 det(E) = det"(E) = 1，於是 det"(A) = det(A)。
綜上就證明了：對於任意 方陣 A 在任何情況下，det"(A) = det(A)，即，det 唯一。
利用新新增規定，顯然有：
於是：
考慮 det(AB)。當 A 和 B 不都滿秩時，r(AB) = min{r(A), r(B)} < n ，於是：
當 A B 全滿秩時，則有：
於是：
進而：
綜上就證明了：行列式函式保持方陣乘法運算，即，
注：其實從 det(AB) = det(A)det(B) 也可以反推 det(E) = 1，不過要新增條件 det 非恆零。（可考慮作為 行列式函式 定義中最後新增的規定，感覺更高大上一些）
設 n 階單位矩陣 E 的行向量組表示為：
則有：
其中 (j_1, ..., j_n) 是 1, ..., n 個數字的任意排列，於是 (e_{j_1}, ..., e_{j_n}) 就是 對 E 列向量的任意排列，於是必有：
其中 N(j_1, ...,j_n) 稱為 排列 (j_1, ..., j_n) 的 反序數，於是：
最終得到：
上面等式右邊就是行列式函式 det 的解析表示式，稱為 行列式，記為 |A|。
行列式的本質從行列式的推導過程，知道 行列式 是 向量空間 K^n 上的一個特殊的 n 元線性函式 det: K^n × ... × K^n → K（n 個 K^n） 而我們知道，K^n 上的 n 元線性函式 就是 K^n 上的 n 階協變張量。
單位矩陣 E 的 列向量組 e_1, e_2, ..., e_n 為 K^n 的 標準正交基，其在對偶空間 (K^n)* 下的對偶基 設為：e^1, e^2, ..., e^n，有：
令 α = (a_1, a_2, ..., a_2)ᵀ ，則：
於是 有：
其中：
即，行列式的本質是：