設a=（x，y），b=(x"，y")。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量的加法
AB+BC=AC。 a+b=(x+x"，y+y")。 a+0=0+a=a。 向量加法的運算律： 交換律：a+b=b+a； 結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0 AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被向量的減法
減” a=(x,y)b=(x",y") 則a-b=(x-x",y-y").
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 當λ＞0時，λa與a同方向； 當λ＜0時，λa與a反方向；向量的數乘
當λ=0時，λa=0，方向任意。 當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。 注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。 實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。 當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍； 當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。 數與向量的乘法滿足下面的運算律 結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。 向量的數量積的座標表示：a·b=x·x"+y·y"。 向量的數量積的運算律 a·b=b·a（交換律）； (λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的數量積的性質 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的數量積與實數運算的主要不同點 1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡並不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。 向量的向量積性質： ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。 a×a=0。 a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。 向量的向量積運算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c. 注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
6、三向量的混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，向量的混合積
所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合積具有下列性質： 1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為稜的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1） 2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c)
7、三向量的二重向量積
由於二重向量叉乘的計算較為複雜，於是直接給出了下列化簡公式以及證明過程： 二重向量叉乘化簡公式及證明
編輯本段向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號； ② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號； ② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
編輯本段定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ·向量PP2） 設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同於P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數 λ且λ不等於-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點座標公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式 三點共線定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線 三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
編輯本段其他
向量共線的條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。 若設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。 零向量0平行於任何向量。
向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 零向量0垂直於任何向量. 平面向量的分解定理 平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使 a=λ1e1+λ2e2 我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基組．
設a=（x，y），b=(x"，y")。
1、向量的加法
向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。向量的加法
AB+BC=AC。 a+b=(x+x"，y+y")。 a+0=0+a=a。 向量加法的運算律： 交換律：a+b=b+a； 結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的減法
如果a、b是互為相反的向量，那麼a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0 AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被向量的減法
減” a=(x,y)b=(x",y") 則a-b=(x-x",y-y").
3、數乘向量
實數λ和向量a的乘積是一個向量，記作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。 當λ＞0時，λa與a同方向； 當λ＜0時，λa與a反方向；向量的數乘
當λ=0時，λa=0，方向任意。 當a=0時，對於任意實數λ，都有λa=0。 注：按定義知，如果λa=0，那麼λ=0或a=0。 實數λ叫做向量a的係數，乘數向量λa的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。 當∣λ∣＞1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸長為原來的∣λ∣倍； 當∣λ∣＜1時，表示向量a的有向線段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0）上縮短為原來的∣λ∣倍。 數與向量的乘法滿足下面的運算律 結合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。 向量對於數的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 數對於向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb. 數乘向量的消去律：① 如果實數λ≠0且λa=λb，那麼a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那麼λ=μ。
4、向量的數量積
定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作〈a,b〉並規定0≤〈a,b〉≤π 定義：兩個向量的數量積（內積、點積）是一個數量，記作a·b。若a、b不共線，則a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共線，則a·b=+-∣a∣∣b∣。 向量的數量積的座標表示：a·b=x·x"+y·y"。 向量的數量積的運算律 a·b=b·a（交換律）； (λa)·b=λ(a·b)(關於數乘法的結合律)； （a+b)·c=a·c+b·c（分配律）； 向量的數量積的性質 a·a=|a|的平方。 a⊥b 〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。（該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|） 向量的數量積與實數運算的主要不同點 1、向量的數量積不滿足結合律，即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如：(a·b)^2≠a^2·b^2。 2、向量的數量積不滿足消去律，即：由 a·b=a·c (a≠0)，推不出 b=c。 3、|a·b|≠|a|·|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
5、向量的向量積
定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作a×b（這裡並不是乘號，只是一種表示方法，與“·”不同，也可記做“∧”）。若a、b不共線，則a×b的模是：∣a×b∣=|a|·|b|·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直於a和b，且a、b和a×b按這個次序構成右手系。若a、b共線，則a×b=0。 向量的向量積性質： ∣a×b∣是以a和b為邊的平行四邊形面積。 a×a=0。 a垂直b〈=〉a×b=|a||b|。 向量的向量積運算律 a×b=-b×a； （λa）×b=λ（a×b）=a×（λb）； a×（b+c）=a×b+a×c. 注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。
6、三向量的混合積
定義：給定空間三向量a、b、c，向量a、b的向量積a×b，再和向量c作數量積(a×b)·c，向量的混合積
所得的數叫做三向量a、b、c的混合積，記作(a,b,c)或(abc)，即(abc)=(a,b,c)=(a×b)·c 混合積具有下列性質： 1、三個不共面向量a、b、c的混合積的絕對值等於以a、b、c為稜的平行六面體的體積V，並且當a、b、c構成右手系時混合積是正數；當a、b、c構成左手系時，混合積是負數，即(abc)=εV（當a、b、c構成右手系時ε=1；當a、b、c構成左手系時ε=-1） 2、上性質的推論：三向量a、b、c共面的充要條件是(abc)=0 3、(abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb) 4、(a×b)·c=a·(b×c)
7、三向量的二重向量積
由於二重向量叉乘的計算較為複雜，於是直接給出了下列化簡公式以及證明過程： 二重向量叉乘化簡公式及證明
編輯本段向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣； ① 當且僅當a、b反向時，左邊取等號； ② 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。 2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 ① 當且僅當a、b同向時，左邊取等號； ② 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。
編輯本段定比分點
定比分點公式（向量P1P=λ·向量PP2） 設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同於P1、P2的任意一點。則存在一個任意實數 λ且λ不等於-1，使 向量P1P=λ·向量PP2，λ叫做點P分有向線段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+λOP2)/(1+λ)；（定比分點向量公式） x=(x1+λx2)/(1+λ), y=(y1+λy2)/(1+λ)。（定比分點座標公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式 三點共線定理 若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,則A、B、C三點共線 三角形重心判斷式 在△ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為△ABC的重心
編輯本段其他
向量共線的條件
若b≠0，則a//b的重要條件是存在唯一實數λ，使a=λb。 若設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。 零向量0平行於任何向量。
向量垂直的充要條件
a⊥b的充要條件是 a·b=0，即x1x2+y1y2=0。 零向量0垂直於任何向量. 平面向量的分解定理 平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內的兩個不平行向量，那麼對於這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1，λ2使 a=λ1e1+λ2e2 我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內所有向量的一基組．