1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關係為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關係為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這隻需證明B2為真，從而又有…，……這隻需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，一個變數不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是透過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多箇中間變數透過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。
1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則
= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，
（因為 ， ），
1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。
(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b；a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體；②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段；③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最後肯定所求證不等式成立的結論。應用範圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。
(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈R+，a/b≥1a≥b；a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商；②變形：化簡商式到最簡形式；③判斷商與1的大小關係，就是判定商大於1或小於1。應用範圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。
2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，藉助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最後推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關係為：AB1 B2 B3… BnB，即從已知A逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論B。
3.分析法分析法是指從需證的不等式出發，分析這個不等式成立的充分條件，進而轉化為判定那個條件是否具備，其特點和思路是“執果索因”，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”。用分析法證明AB的邏輯關係為：BB1B1 B3 … BnA，書寫的模式是：為了證明命題B成立，只需證明命題B1為真，從而有…，這隻需證明B2為真，從而又有…，……這隻需證明A為真，而已知A為真，故B必為真。這種證題模式告訴我們，分析法證題是步步尋求上一步成立的充分條件。
4.反證法有些不等式的證明，從正面證不好說清楚，可以從正難則反的角度考慮，即要證明不等式A>B，先假設A≤B，由題設及其它性質，推出矛盾，從而肯定A>B。凡涉及到的證明不等式為否定命題、惟一性命題或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等詞語時，可以考慮用反證法。
5.換元法換元法是對一些結構比較複雜，變數較多，變數之間的關係不甚明瞭的不等式可引入一個或多個變數進行代換，以便簡化原有的結構或實現某種轉化與變通，給證明帶來新的啟迪和方法。主要有兩種換元形式。(1)三角代換法：多用於條件不等式的證明，當所給條件較複雜，一個變數不易用另一個變量表示，這時可考慮三角代換，將兩個變數都有同一個引數表示。此法如果運用恰當，可溝通三角與代數的聯絡，將複雜的代數問題轉化為三角問題根據具體問題，實施的三角代換方法有：①若x2+y2=1，可設x=cosθ，y=sinθ；②若x2+y2≤1，可設x=rcosθ，y=rsinθ(0≤r≤1)；③對於含有的不等式，由於|x|≤1，可設x=cosθ；④若x+y+z=xyz，由tanA+tanB+tanC=tanAtan-BtanC知，可設x=taaA，y=tanB，z=tanC，其中A+B+C=π。(2)增量換元法：在對稱式(任意交換兩個字母，代數式不變)和給定字母順序(如a>b>c等)的不等式，考慮用增量法進行換元，其目的是透過換元達到減元，使問題化難為易，化繁為簡。如a+b=1，可以用a=1-t，b=t或a=1/2+t，b=1/2-t進行換元。
6.放縮法放縮法是要證明不等式A<B成立不容易，而藉助一個或多箇中間變數透過適當的放大或縮小達到證明不等式的方法。放縮法證明不等式的理論依據主要有：(1)不等式的傳遞性；(2)等量加不等量為不等量；(3)同分子(分母)異分母(分子)的兩個分式大小的比較。常用的放縮技巧有：①舍掉(或加進)一些項；②在分式中放大或縮小分子或分母；③應用均值不等式進行放縮。
1、比較法（作差法）
在比較兩個實數 和 的大小時，可藉助 的符號來判斷。步驟一般為：作差——變形——判斷（正號、負號、零）。變形時常用的方法有：配方、通分、因式分解、和差化積、應用已知定理、公式等。
例1、已知： ， ，求證： 。
證明： ，故得 。
2、分析法（逆推法）
從要證明的結論出發，一步一步地推導，最後達到命題的已知條件（可明顯成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推導過程都必須可逆。
例2、求證： 。
證明：要證 ，即證 ，即 ， ， ， ， ，由此逆推即得 。
3、綜合法
證題時，從已知條件入手，經過逐步的邏輯推導，運用已知的定義、定理、公式等，最終達到要證結論，這是一種常用的方法。
例3、已知： ， 同號，求證： 。
證明：因為 ， 同號，所以 ， ，則 ，即 。
4、作商法（作比法）
在證題時，一般在 ， 均為正數時，藉助 或 來判斷其大小，步驟一般為：作商——變形——判斷（大於1或小於1）。
例4、設 ，求證： 。
證明：因為 ，所以 ， 。而 ，故 。
5、反證法
先假設要證明的結論不對，由此經過合理的邏輯推導得出矛盾，從而否定假設，匯出結論的正確性，達到證題的目的。
例5、已知 ， 是大於1的整數，求證： 。
證明：假設 ，則 ，即 ，故 ，這與已知矛盾，所以 。
6、迭合法（降元法）
把所要證明的結論先分解為幾個較簡單部分，分別證明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性質，使原不等式獲證。
例6、已知： ， ，求證： 。
證明：因為 ， ，
所以 ， 。
由柯西不等式
，所以原不等式獲證。
7、放縮法（增減法、加強不等式法）
在證題過程中，根據不等式的傳遞性，常採用捨去一些正項（或負項）而使不等式的各項之和變小（或變大），或把和（或積）裡的各項換以較大（或較小）的數，或在分式中擴大（或縮小）分式中的分子（或分母），從而達到證明的目的。值得注意的是“放”、“縮”得當，不要過頭。常用方法為：改變分子（分母）放縮法、拆補放縮法、編組放縮法、尋找“中介量”放縮法。
例7、求證： 。
證明：令 ，則
，
所以 。
8、數學歸納法
對於含有 的不等式，當 取第一個值時不等式成立，如果使不等式在 時成立的假設下，還能證明不等式在 時也成立，那麼肯定這個不等式對 取第一個值以後的自然數都能成立。
例8、已知： ， ， ，求證： 。
證明：（1）當 時， ，不等式成立；
（2）若 時， 成立，則
= ，
即 成立。
根據（1）、（2）， 對於大於1的自然數 都成立。
9、換元法
在證題過程中，以變數代換的方法，選擇適當的輔助未知數，使問題的證明達到簡化。
例9、已知： ，求證： 。
證明：設 ， ，則 ，
（因為 ， ），
所以 。