【一些結論】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(內積）
3 若P是△ABC的內心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 則直線AP經過△ABC內心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 經過垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 經過重心
8.若aOA=bOB+cOC,則0為∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分線的交點
【以下是一些結論的有關證明】
1.
O是三角形內心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延長CO交AB於D,根據向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因為OD與OC共線,所以可設OD=kOC,
上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA與DB共線,向量OC與向量DA、DB不共線,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a,
所以CD為∠ACB的平分線,同理可證其它的兩條也是角平分線.
必要性：
已知O是三角形內心,
設BO與AC相交於E,CO與AB相交於F,
∵O是內心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
過A作CO的平行線,與BO的延長線相交於N,過A作BO的平行線,與CO的延長線相交於M,
所以四邊形OMAN是平行四邊形
根據平行四邊形法則,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 為斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一個定點,動點P滿足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P點軌跡過三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根據正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P點軌跡過三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線
根據正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP與AB+AC共線
AB+AC過BC中點D,所以P點的軌跡也過中點D,
∴點P過三角形重心.
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP與向量BC垂直,
P點的軌跡過垂心.
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量,
向量AB與AC的單位向量的和向量,
因為是單位向量,模長都相等,構成菱形,
向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線,
易知是角平分線,所以P點的軌跡經過內心.
三角形重心表示式:向量OA+向量OB+向量OC=零向量
證明：設AD為三角形ABC中BC邊的中線,O為三角形的重心
延長OD到E,使OD=DE,連結BE,CE
且有BD=DC,所以四邊形BOCE為平行四邊形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o為重心,將AD分為2：1兩部分,即AO=2OD=OE
綜上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心
O是三角形的垂心:向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
證明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可證OA⊥CB,OB⊥AC.
所以O是三角形的垂心.
【一些結論】：以下皆是向量
1 若P是△ABC的重心 PA+PB+PC=0
2 若P是△ABC的垂心 PA•PB=PB•PC=PA•PC(內積）
3 若P是△ABC的內心 aPA+bPB+cPC=0(abc是三邊）
4 若P是△ABC的外心 |PA|²=|PB|²=|PC|²
（AP就表示AP向量 |AP|就是它的模）
5 AP=λ（AB/|AB|+AC/|AC|),λ∈[0,+∞) 則直線AP經過△ABC內心
6 AP=λ（AB/|AB|cosB+AC/|AC|cosC),λ∈[0,+∞) 經過垂心
7 AP=λ（AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC),λ∈[0,+∞）
或 AP=λ(AB+AC),λ∈[0,+ ∞) 經過重心
8.若aOA=bOB+cOC,則0為∠A的旁心,∠A及∠B,C的外角平分線的交點
【以下是一些結論的有關證明】
1.
O是三角形內心的充要條件是aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量
充分性：
已知aOA向量+bOB向量+cOC向量=0向量,
延長CO交AB於D,根據向量加法得：
OA=OD+DA,OB=OD+DB,代入已知得：
a(OD+DA)+b(OD+DB) +cOC=0,
因為OD與OC共線,所以可設OD=kOC,
上式可化為(ka+kb+c) OC+( aDA+bDB)=0向量,
向量DA與DB共線,向量OC與向量DA、DB不共線,
所以只能有：ka+kb+c=0,aDA+bDB=0向量,
由aDA+bDB=0向量可知：DA與DB的長度之比為b/a,
所以CD為∠ACB的平分線,同理可證其它的兩條也是角平分線.
必要性：
已知O是三角形內心,
設BO與AC相交於E,CO與AB相交於F,
∵O是內心
∴b/a=AF/BF,c/a=AE/CE
過A作CO的平行線,與BO的延長線相交於N,過A作BO的平行線,與CO的延長線相交於M,
所以四邊形OMAN是平行四邊形
根據平行四邊形法則,得
向量OA
=向量OM+向量ON
=(OM/CO)*向量CO+(ON/BO)*向量BO
=(AE/CE)*向量CO+(AF/BF)*向量BO
=(c/a)*向量CO+(b/a)*向量BO∴a*向量OA=b*向量BO+c*向量CO
∴a*向量OA+b*向量OB+c*向量OC=向量0
2.
已知△ABC 為斜三角形,且O是△ABC所在平面上的一個定點,動點P滿足向量OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
求P點軌跡過三角形的垂心
OP=OA+入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
OP-OA=入{(AB/|AB|＾2*sin2B)+AC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP=入{(AB /|AB|＾2*sin2B)+AC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{(AB•BC /|AB|＾2*sin2B)+AC•BC /(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{|AB|•|BC|cos(180° -B) / (|AB|＾2*sin2B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*sin2C)},
AP•BC=入{-|AB|•|BC| cos B/ (|AB|＾2*2sinB cos B) +|AC|•|BC| cosC/(|AC|＾2*2sinC cosC)},
AP•BC=入{-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )},
根據正弦定理得：|AB|/sinC=|AC|/ sinB,所以|AB|*sinB=|AC|*sinC
∴-|BC|/ (|AB|*2sinB ) +|BC|/(|AC|*2sinC )=0,
即AP•BC=0,
P點軌跡過三角形的垂心
3.
OP=OA+λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
OP-OA=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP=λ(AB/(|AB|sinB)+AC/(|AC|sinC))
AP與AB/|AB|sinB+AC/|AC|sinC共線
根據正弦定理：|AB|/sinC=|AC|/sinB,
所以|AB|sinB=|AC|sinC,
所以AP與AB+AC共線
AB+AC過BC中點D,所以P點的軌跡也過中點D,
∴點P過三角形重心.
4.
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
OP=OA+λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP=λ(ABcosC/|AB|+ACcosB/|AC|)
AP•BC=λ(AB•BC cosC/|AB|+AC•BC cosB/|AC|)
=λ([|AB|•|BC|cos(180° -B)cosC/|AB|+|AC|•|BC| cosC cosB/|AC|]
=λ[-|BC|cosBcosC+|BC| cosC cosB]
=0,
所以向量AP與向量BC垂直,
P點的軌跡過垂心.
5.
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP=OA+λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
OP-OA =λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AP=λ(AB/|AB|+AC/|AC|)
AB/|AB|、AC/|AC|各為AB、AC方向上的單位長度向量,
向量AB與AC的單位向量的和向量,
因為是單位向量,模長都相等,構成菱形,
向量AB與AC的單位向量的和向量為菱形對角線,
易知是角平分線,所以P點的軌跡經過內心.
三角形重心表示式:向量OA+向量OB+向量OC=零向量
證明：設AD為三角形ABC中BC邊的中線,O為三角形的重心
延長OD到E,使OD=DE,連結BE,CE
且有BD=DC,所以四邊形BOCE為平行四邊形
所以向量OB+向量OC=向量OE
o為重心,將AD分為2：1兩部分,即AO=2OD=OE
綜上向量OA=-向量OE=-（向量OB+向量OC）
即：向量OA+向量OB+向量OC=0
所以o是三角形的重心
O是三角形的垂心:向量OA的平方+向量BC的平方=向量OB的平方+向量CA的平方=向量OC的平方+向量AB的平方
證明：向量OA平方+向量BC平方=向量OB平方+向量CA平方
即向量OA平方-向量OB平方=向量CA平方-向量BC平方
即（向量OA-向量OB）（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）（向量CA+向量BC）
即向量BA•（向量OA+向量OB）=（向量CA-向量BC）•向量BA
即向量BA•（向量OA-向量CA+向量OB+向量BC）=0
即2向量BA•向量OC=0
∴OC⊥AB
同理可證OA⊥CB,OB⊥AC.
所以O是三角形的垂心.