如果函式f(x)在I上一致連續，自然在I上也是連續的；證明如下：設函式f(x)在I上一致連續，那麼對於I上任意一點t，即t∈I；f(x)是一致連續的，對任取的e>0，存在d>0，當I上任意兩點a和b滿足|a-b|<d，有|f(a)-f(b)|<e；對I上的點x和y，當滿足|x-t|<d/2且|y-t|<d/2，那麼|x-y|<d/2+d/2=d；有|f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|；由於f一致連續，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那麼|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e；則|f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；也就是對任取的e>0，存在d"=d/2，當|x-t|<d"，有|f(x)-f(t)|<2e；即f(x)在點t連續；由於點t是在I上任意選取一點，f(x)在I上連續。所以一致連續函式一定連續
如果函式f(x)在I上一致連續，自然在I上也是連續的；證明如下：設函式f(x)在I上一致連續，那麼對於I上任意一點t，即t∈I；f(x)是一致連續的，對任取的e>0，存在d>0，當I上任意兩點a和b滿足|a-b|<d，有|f(a)-f(b)|<e；對I上的點x和y，當滿足|x-t|<d/2且|y-t|<d/2，那麼|x-y|<d/2+d/2=d；有|f(x)-f(t)|=|f(x)-f(y)+f(y)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|；由於f一致連續，|x-y|<d，|y-t|<d/2<d，那麼|f(x)-f(y)|<e，|f(y)-f(t)|<e；則|f(x)-f(t)|<=|f(x)-f(y)|+|f(y)-f(t)|<2e；也就是對任取的e>0，存在d"=d/2，當|x-t|<d"，有|f(x)-f(t)|<2e；即f(x)在點t連續；由於點t是在I上任意選取一點，f(x)在I上連續。所以一致連續函式一定連續