1. 2π週期函式f(x)的Fourier級數為: a[0]+ ∑{1 ≤ k}(a[k]cos(kx)+b[k]sin(kx)), 其中對k ≥ 1有a[k] = 1/π·∫{-π,π}f(t)cos(kt)dt, b[k] = 1/π·∫{-π,π}f(t)sin(kt)dt, 而a[0] = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)dt. 於是, f(x)的Fourier級數截斷到k ≤ n的部分和可表示為: S[n](x) = a[0]+ ∑{1 ≤ k ≤ n}(a[k]cos(kx)+b[k]sin(kx)) = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)(1+2·∑{1 ≤ k ≤ n}(cos(kt)cos(kx)+sin(kt)sin(kx)))dt = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)(1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t)))dt. 由積化和差可知: sin((x-t)/2)·(1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t))) = sin((x-t)/2)+∑{1 ≤ k ≤ n}(sin((2k+1)(x-t)/2)-sin((2k-1)(x-t)/2)) = sin((2n+1)(x-t)/2), 因此1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t)) = sin((2n+1)(x-t)/2)/sin((x-t)/2) = D[n](x-t). 即f(x)的Fourier級數截斷到k ≤ n的部分和S[n](x) = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)·D[n](x-t)dt. 注: 上述推導過程與原文不同, 迴避了Euler公式, 而需要一點技巧. 如果熟悉Euler公式, 不難理解Fourier級數部分和具有∑{-n ≤ k ≤ n}c[k]e^(ikx)形式, 其中c[k] = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)e^(-ikt)dt, 後面的過程請自行補充. 2. Riemann-Lebesgue引理有若干版本, 大意在說可積函式的Fourier變換高頻部分趨於0. 這裡使用的形式可以寫為: 若g(x)在[0,π]上(Lebesgue)可積, 則lim{r→+∞} ∫{0,π}g(t)sin(rt)dt = 0. 形象理解的話, 就是隨著r的增大, sin(rt)的正部和負部的貢獻傾向於相互抵消. 在Dirichlet收斂定理的證明中, Riemann-Lebesgue引理用於估計S[n](x)-(f(x+)+f(x-))/2的誤差項. 因為定理條件保證了g(t) = (f(x+t)+f(x-t)-f(x+)-f(x-))/sin(t/2)可積, 同時n趨於無窮時, r = (2n+1)/2也趨於無窮. 而誤差項恰好具有∫{0,π}g(t)sin(rt)dt形式, 故隨著n趨於無窮而收斂到0. 即得lim{n→∞} S[n](x) = (f(x+)+f(x-))/2.
1. 2π週期函式f(x)的Fourier級數為: a[0]+ ∑{1 ≤ k}(a[k]cos(kx)+b[k]sin(kx)), 其中對k ≥ 1有a[k] = 1/π·∫{-π,π}f(t)cos(kt)dt, b[k] = 1/π·∫{-π,π}f(t)sin(kt)dt, 而a[0] = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)dt. 於是, f(x)的Fourier級數截斷到k ≤ n的部分和可表示為: S[n](x) = a[0]+ ∑{1 ≤ k ≤ n}(a[k]cos(kx)+b[k]sin(kx)) = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)(1+2·∑{1 ≤ k ≤ n}(cos(kt)cos(kx)+sin(kt)sin(kx)))dt = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)(1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t)))dt. 由積化和差可知: sin((x-t)/2)·(1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t))) = sin((x-t)/2)+∑{1 ≤ k ≤ n}(sin((2k+1)(x-t)/2)-sin((2k-1)(x-t)/2)) = sin((2n+1)(x-t)/2), 因此1+∑{1 ≤ k ≤ n}2cos(k(x-t)) = sin((2n+1)(x-t)/2)/sin((x-t)/2) = D[n](x-t). 即f(x)的Fourier級數截斷到k ≤ n的部分和S[n](x) = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)·D[n](x-t)dt. 注: 上述推導過程與原文不同, 迴避了Euler公式, 而需要一點技巧. 如果熟悉Euler公式, 不難理解Fourier級數部分和具有∑{-n ≤ k ≤ n}c[k]e^(ikx)形式, 其中c[k] = 1/(2π)·∫{-π,π}f(t)e^(-ikt)dt, 後面的過程請自行補充. 2. Riemann-Lebesgue引理有若干版本, 大意在說可積函式的Fourier變換高頻部分趨於0. 這裡使用的形式可以寫為: 若g(x)在[0,π]上(Lebesgue)可積, 則lim{r→+∞} ∫{0,π}g(t)sin(rt)dt = 0. 形象理解的話, 就是隨著r的增大, sin(rt)的正部和負部的貢獻傾向於相互抵消. 在Dirichlet收斂定理的證明中, Riemann-Lebesgue引理用於估計S[n](x)-(f(x+)+f(x-))/2的誤差項. 因為定理條件保證了g(t) = (f(x+t)+f(x-t)-f(x+)-f(x-))/sin(t/2)可積, 同時n趨於無窮時, r = (2n+1)/2也趨於無窮. 而誤差項恰好具有∫{0,π}g(t)sin(rt)dt形式, 故隨著n趨於無窮而收斂到0. 即得lim{n→∞} S[n](x) = (f(x+)+f(x-))/2.