首先需要二項式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用數學歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1時，式一成立。
設n1為任一自然數，假設n=n1時，（式一）成立 ，即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
則，當n=n1+1時:
式二兩端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)
因此二項式定理（即式一成立）
下面用二項式定理計算這一極限：
（1+1/n）^n （式一）
用二項式展開得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由於二項展開式係數項的分子乘積的最高次項與（1/n）的次數相同，而係數為1，因此，最高次項與（1/n）的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約後，分子剩下常數，而分母總餘下n的若干次方，當n -> +∞,得0。因此總的結果是當n -> +∞，二項展開式係數項的各項分子乘積與（1/n）的相應項的次方相約，得1。餘下分母。於是式一化為：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
當n -> +∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。
補充：
將式二和公比為1/2的等比數列比較，其每一項都小於此等比數列，而此等比數列收斂，因此，式二必定收斂於一固定數值。
首先需要二項式定理：
（a+b）^n=∑ C（i=0 –> i=n）n i a^(n-i) * b^i （式一）
用數學歸納法證此定理：
n=1 (a+b)^1 a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此，n=1時，式一成立。
設n1為任一自然數，假設n=n1時，（式一）成立 ，即：
（a+b）^n1=∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i （式二）
則，當n=n1+1時:
式二兩端同乘（a+b）
[（a+b）^n1]*(a+b)=[∑ C（i=0 –> i=n1）n1 i a^(n1-i) * b^i]*(a+b)
=> (a+b)^(n1+1)= ∑ C（i=0 –> i=(n1+1)）(n1+1) i a^((n1+1)-i) * b^i ( 據乘法分配律)
因此二項式定理（即式一成立）
下面用二項式定理計算這一極限：
（1+1/n）^n （式一）
用二項式展開得：
（1+1/n）^n = 1^n+(n/1)(1/n)+[(n(n-1))/(2*1)]*(1/n)^2+[(n(n-1)(n-2))/(3*2*1)]*(1/n)^3 + … +[(n(n-1)(n-2) …3)/((n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-2)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2)/((n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^(n-1)+ [(n(n-1)(n-2) …3*2*1)/(n(n-1)(n-2)(n-1) … 2*1)]*(1/n)^n
由於二項展開式係數項的分子乘積的最高次項與（1/n）的次數相同，而係數為1，因此，最高次項與（1/n）的相應次方剛好相約，得1，低次項與1/n的相應次方相約後，分子剩下常數，而分母總餘下n的若干次方，當n -> +∞,得0。因此總的結果是當n -> +∞，二項展開式係數項的各項分子乘積與（1/n）的相應項的次方相約，得1。餘下分母。於是式一化為：
（1+1/n）^n =1+1+1/2！+1/3！+1/4！+1/5！+1/6！+ … + 1/n！ （式二）
當n -> +∞時，你可以用計算機，或筆計算此值。這一數值定義為e。
補充：
將式二和公比為1/2的等比數列比較，其每一項都小於此等比數列，而此等比數列收斂，因此，式二必定收斂於一固定數值。