高次方程解起來極為困難，即使是有求根公式的三次、四次方程，由於公式複雜，往往也不具有實用性，這時因式分解就成為解相當多一類高次方程的利器。但因式分解往往又需要以方程根為依據，這就成為了一個“先有蛋還是先有雞”的問題。這時如果恰當應用有理根定理，往往能夠奏效。

所謂“有理根”定理，是指對於係數為最簡整數的方程（最簡整數即所有整數沒有公約數，如果係數是分數則可以化成整數），設最高次項係數是 ，對應的因子分別為 ，，…，常數項為 ，對應的因子分別為 ，，…，如果存在有理根，則這個根一定是常數項因子與最高次項係數因子比值中的一個——（分母可能是 1，且方程根包括正負兩種可能情況）。

下面透過一個例子來介紹這個定理的使用。

在高中課堂上我們計算 時就需要利用這一方法。設其為 ，由 結合倍角公式可得下面的三次方程：

根據有理根定理，猜測方程的根可能是 或者 、，代入 後方程成立，說明這個方程可以分解出一個因式——，這顯然不是 的值，但是原方程分解出 之後剩下的二次方程已經不難求解，只要再根據 所在的範圍，去掉一個根，剩下的就是 的值。

僅僅上述例子尚不足以證明有理根定理的強大。事實上，我們可以利用待定係數法把上述定理推廣到相當廣泛的一類無理根上。

最近從網路上看到一個四次方程：，原文是用換元法求解的，本文我們用推廣了的有理根定理結合待定係數法求解。

透過試驗發現， 和 均不是原方程的根，直接應用有理根定理陷入困境。下面我們設原方程有一個因式是，注意這裡最高次項係數是 1，常數項是 -3，這裡為節省篇幅沒有考慮其它因子的組合，比如 或者 等等，而是直接給出了一個“好”的因式——即可以得到我們需要的答案的因式。

透過下面的除法得到原方程和上述這個待定因式的商：

一類高次方程的解法

顯然，當 時餘數為 0，即原方程可以分解為 ，後略。

進一步我們還可以試驗：開始給的待定因式如果是 、 等形式是否合適，這個任務就留給讀者了。