定義
增根(extraneous root )，在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根
對於分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以後，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值範圍擴大了，如果轉化後的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那麼就會出現增根。
(1)分式方程(2)無理方程
(3)非函式方程
分式方程增根介紹
在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根
例： x/(x-2)-2/(x-2)=0
解：去分母，x-2=0
x=2
但是X=2使X-2和X^2-4等於0,所以X=2是增根
分式方程兩邊都乘以最簡公分母化分式方程為整公分母的值不為0，則此解是分式方程的解，若最簡公分母的值為0，則此解是增根。
例如: 設方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,稱 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,稱x=b 是方程B(x)=0 的失根.
非函式方程增根介紹
在兩非函式方程(如圓錐曲線)聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。
例如：若已知橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O為原點座標，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的範圍。
存在一種解法：
橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0
→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)
因為有兩個根，所以△>0
∴△=(2b^2-a^2)>0
∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根號二)
而正解卻是
由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2
∴0
∴(1/2)^(1/2)
然而問題出在，無論怎麼取，只要e≠(1/2)^(1/2)，好像△永遠都>0
於是我們取e=1/2
假設 a^2=4 b^2=3 c^2=1
即可得橢圓(x^2)/4+(y^2)/3=1···①
與圓x^2+y^2-2x=0···②
聯立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)
有十字相乘 x1=2 x2=6
顯然 此時 x2=6是增根
將x2=6 帶入①式 y^2= -24
將x2=6 帶入②式 y^2= -24
將x2=6 帶入(*)式 y^2=2x-x^2= -24
可知這裡的的確確是產生了一個增根，而且在解題過程中不能透過任何方式排除，這說明多個非函式方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來說，直線與圓錐曲線的聯立並沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函式，而直線是函式的原因。
不過值得注意的是：
①不是任何的兩個非函式方程聯立都會產生增根。例如圓不是函式，但求兩個圓的交點，不會產生曾根。
②增根的產生和定義域有關係，但沒有絕對的關係。不能說聯立方程時，將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域(-2，2) ②式定義域(0，2)大多數人是在②式中，用x表示y，寫成y=ax-x^2，再帶入①式，產生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再帶入②式，我們依然會得到增根。
下面列出兩種必然會出現增根的一般式：
①橢圓與拋物線
橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得
b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2
可知，若x1>0，則x20)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。(另外我們還知道|x1|
②雙曲線與拋物線
雙曲線(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得
b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20
可知，若x1>0，則x20)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。(另外我們還知道|x1|>|x2|)
無理數方程增根介紹
√ (2X^2-X-12)=X
解：兩邊平方得2X^2-X-12=X^2
得X^2-X-12=0
得X=4或X=-3(增根)
出現增根的原因是由於兩邊平方忽略了上式的X>0且根號內的值大於等於0.由於同樣的粗心，錯誤還會在無理不等式中體現
如何求增根
解分式方程時什麼根，往往是由於違反了方程的同解原理或對方程變形時粗心大意造成的。
1. 如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現增根.例如將方程x-2=0的兩邊都乘x，變形成x(x-2)=0，方程兩邊所乘的最簡公分母，看其是否為0，是0即為增根。
還可以把x代入最簡公分母也可。
增根是不可忽視性
許多人解方程時，得到了增根，比如說能量是負值，一般的人都會將這個忽視掉，但這些值是挺令人尋味的。著名的物理學家狄拉克利用相對論、量子力學尋找粒子的能量時，他發現某個粒子的能量和其動量緊密相關，即E2=p2+m2(p為動量，m為粒子的質量)，解得E=±(p2+m2)^?你肯定想保留正根，因為你知道能量不會是負值，但數學家們告訴狄拉克，你不能忽略負值，因為數學告訴我有兩個根，你不能隨便丟掉。
後來事實證明，第二個根，也就是為負的那個根，正是理論的關鍵：世界上既有粒子，也有反粒子。負能量就是用來解釋反粒子的。
定義
增根(extraneous root )，在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根
對於分式方程，當分式中，分母的值為零時，無意義，所以分式方程，不允許未知數取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件。當把分式方程轉化為整式方程以後，這種限制取消了，換言之，方程中未知數的值範圍擴大了，如果轉化後的整式方程的根恰好是原方程未知數的允許值之外的值，那麼就會出現增根。
(1)分式方程(2)無理方程
(3)非函式方程
分式方程增根介紹
在分式方程化為整式方程的過程中，若整式方程的根使最簡公分母為0，(根使整式方程成立，而在分式方程中分母為0)那麼這個根叫做原分式方程的增根
例： x/(x-2)-2/(x-2)=0
解：去分母，x-2=0
x=2
但是X=2使X-2和X^2-4等於0,所以X=2是增根
分式方程兩邊都乘以最簡公分母化分式方程為整公分母的值不為0，則此解是分式方程的解，若最簡公分母的值為0，則此解是增根。
例如: 設方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,稱 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,稱x=b 是方程B(x)=0 的失根.
非函式方程增根介紹
在兩非函式方程(如圓錐曲線)聯立求解的過程中，增根的出現主要表現在定義域的變化上。
例如：若已知橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O為原點座標，A為橢圓右頂點，若橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，求橢圓的圓心率的範圍。
存在一種解法：
橢圓上存在一點P，使OP⊥PA，即是以OA為直徑畫圓，要求與橢圓有除了A(a,0)以外的另外一個解。所以聯立橢圓和圓的方程：
(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1
(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0
→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 (*)
因為有兩個根，所以△>0
∴△=(2b^2-a^2)>0
∴e≠(1/2)^(1/2) (二分之根號二)
而正解卻是
由(*)得 x1=a x2=a·b^2/c^2
∴0
∴(1/2)^(1/2)
然而問題出在，無論怎麼取，只要e≠(1/2)^(1/2)，好像△永遠都>0
於是我們取e=1/2
假設 a^2=4 b^2=3 c^2=1
即可得橢圓(x^2)/4+(y^2)/3=1···①
與圓x^2+y^2-2x=0···②
聯立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)
有十字相乘 x1=2 x2=6
顯然 此時 x2=6是增根
將x2=6 帶入①式 y^2= -24
將x2=6 帶入②式 y^2= -24
將x2=6 帶入(*)式 y^2=2x-x^2= -24
可知這裡的的確確是產生了一個增根，而且在解題過程中不能透過任何方式排除，這說明多個非函式方程聯立求解時，方程本身無法限制x的取值。一般來說，直線與圓錐曲線的聯立並沒有出現過算出兩個解，還需要帶回去驗根的情況，大概是因為圓錐曲線不是函式，而直線是函式的原因。
不過值得注意的是：
①不是任何的兩個非函式方程聯立都會產生增根。例如圓不是函式，但求兩個圓的交點，不會產生曾根。
②增根的產生和定義域有關係，但沒有絕對的關係。不能說聯立方程時，將x定義域擴大或縮小就必然會引起增根。如上述例題中，①式定義域(-2，2) ②式定義域(0，2)大多數人是在②式中，用x表示y，寫成y=ax-x^2，再帶入①式，產生了增根。但是如果我們在①式中用x表示y，寫成y^2=b^2(1-x^2/a^2)，再帶入②式，我們依然會得到增根。
下面列出兩種必然會出現增根的一般式：
①橢圓與拋物線
橢圓(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得
b^2·x^2+a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^2
可知，若x1>0，則x20)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。(另外我們還知道|x1|
②雙曲線與拋物線
雙曲線(x^2)/a^2-(y^2)/b^2=1(a,b>0)和拋物線y^2=2px(p>0)聯立方程式得
b^2·x^2-a^2(2px)-a^2·b^2=0
由韋達定理得 x1·x2=(-a^2·b^2)/b^2=-a^20
可知，若x1>0，則x20)中的隱含定義域x>0。聯立方程式求解誤認為x∈R 。(另外我們還知道|x1|>|x2|)
無理數方程增根介紹
√ (2X^2-X-12)=X
解：兩邊平方得2X^2-X-12=X^2
得X^2-X-12=0
得X=4或X=-3(增根)
出現增根的原因是由於兩邊平方忽略了上式的X>0且根號內的值大於等於0.由於同樣的粗心，錯誤還會在無理不等式中體現
如何求增根
解分式方程時什麼根，往往是由於違反了方程的同解原理或對方程變形時粗心大意造成的。
1. 如果不遵從同解原理，即使解整式方程也可能出現增根.例如將方程x-2=0的兩邊都乘x，變形成x(x-2)=0，方程兩邊所乘的最簡公分母，看其是否為0，是0即為增根。
還可以把x代入最簡公分母也可。
增根是不可忽視性
許多人解方程時，得到了增根，比如說能量是負值，一般的人都會將這個忽視掉，但這些值是挺令人尋味的。著名的物理學家狄拉克利用相對論、量子力學尋找粒子的能量時，他發現某個粒子的能量和其動量緊密相關，即E2=p2+m2(p為動量，m為粒子的質量)，解得E=±(p2+m2)^?你肯定想保留正根，因為你知道能量不會是負值，但數學家們告訴狄拉克，你不能忽略負值，因為數學告訴我有兩個根，你不能隨便丟掉。
後來事實證明，第二個根，也就是為負的那個根，正是理論的關鍵：世界上既有粒子，也有反粒子。負能量就是用來解釋反粒子的。