裂項相消法

把數列的每一項拆成兩項之差，求和時有些部分可以相互抵消，從而達到求和的目的。

2、常見的裂項公式：

（1）若{an}是等差數列，則

1anan+1=

1d·(1an−1an+1)，

1an·an+2=

12d(1an−1an+2)。

（2）

1n(n+1)=1n−1n+1。

（3）

1n(n+k)=1k(1n−1n+k)。

（4）

1(2n−1)(2n+1)=

12(12n−1−12n+1)。

（5）

1n(n+1)(n+2)=

12[1n(n+1)−1(n+1)(n+2)]。

（6）

1n+n+1=n+1−n。

（7）

1n+n+k=

1k(n+k−n)。

注：抵消後的項數並不一定只剩下第一項和最後一項，也有可能剩下第一項和倒數第二項。透過裂項後，有時候需要調整前面的係數，使裂項前後保持相等。

二、裂項相消法的例題

等差數列{an}的前n項和為Sn，a3=3，S4=10，則

∑nk=11Sk=____

A．

nn+1 B．

2nn+1

C．

3nn+1 D．

4nn+1

裂項公式詳細推導過程是分解與組合思想在數列求和中的具體應用。裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然後重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的。通項分解（裂項）如：

（1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1)

（2）1/(2n-1)(2n+1)=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]

（3）1/n(n+1)(n+2)=1/2[1/n(n+1)-1/(n+1)(n+2)]

（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)

（5） n·n!=(n+1)!-n!

例1、分數裂項基本型求數列an=1/n(n+1) 的前n項和。

an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂項）

則 Sn=1-1/2+1/2-1/3+1/4…+1/n-1/(n+1)（裂項求和）

＝ 1-1/(n+1)

＝ n/(n+1)

例2、整數裂項基本型求數列an=n(n+1) 的前n項和。

an=n(n+1)=[n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項）

則 Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)]/3（裂項求和）

＝ (n-1)n(n+1)/3

此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之後，其中中間的大部分項都互相抵消了，只剩下有限的幾項。