求 y""=1/√y 的通解；

解：設y"=dy/dx=p，則 y""=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)；

於是有：p(dp/dy)=1/√y；分離變數得：pdp=(1/√y)dy;

積分之得：(1/2)p²=∫(1/√y)dy=2(√y)+(1/2)c₁

即有p²=4(√y)+c₁；∴p=dy/dx=√[4(√y)+c₁];

dy/√[4(√y)+c₁]=dx；下面求積分：∫dy/√[4(√y)+c₁]

令√y=u, 則y=u²；dy=2udu；∴∫dy/√[4(√y)+c₁]=∫2udu/√(4u+c₁)

=∫ud√(4u+c₁)=u√(4u+c₁)-∫[√(4u+c₁)]du=u√(4u+c₁)-(1/4)∫√[√(4u+c₁)]d(4u+c₁)

=u√(4u+c₁)-(1/4)[(2/3)(4u+c₁)^(3/2)]+c₂

=√[y(c₁+4√y)]-[(1/6)(c₁+4√y)^(3/2)+c₂;

故通解為：x=√[y(c₁+4√y)]-[(1/6)(c₁+4√y)^(3/2)+c₂;

∫( 1/√y) dx= ∫( y^(-1/2) )dx

= y^(-1/2+1) / (-1/2+1) + c

= y^(1/2) / (1/2) + c

= 2√y + c

所以，根號y分之一的積分2√y +c，c為常數。