的求根公式

已知一元三次方程ax³+bx²+cx+d=0 (a≠0)

設x=y-(b/(3a))

將原方程兩邊同除以a,再將y代回原方程得

y³+((3ac-b²)/(3a²))+((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))

設p=((3ac-b²)/(3a²)) q=((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))

則原式化為y³+py+q=0，移項得y³=-py+(-q)

設y=u+v

因為(u+v)³=u³+v³+3uv(u+v)

所以y³=3uvy+u³+v³

所以3uv=-p u³+v³=-q

u³+v³=-q u³v³=-(q/3)³

所以u³與v³可視為一元二次方程t²+qt+(-(q/3)³)=0的兩個根

所以u³=-(q/2)+√((q/2)²+(p/3)³)

v³=-(q/2)-√((q/2)²+(p/3)³)

可看出u、v各有三個值，設第n個值分別為u(n)、v(n)

所以u(n)=ω^(n-1)((-(q/2)+√((q/2)²+(p/3)³))^(1/3))

v(n)=ω^(n-1)((-(q/2)-√((q/2)²+(p/3)³))^(1/3))

其中ω=-(1/2)+((√(3))/2)i，n取1，2，3，i=(√(-1))

又因為3uv=-p

所以u與v取值有三組，為

u(1)與v(1)，u(2)與v(3)，u(3)與v(2)

又因為y=u+v x=y-(b/(3a)) p=((3ac-b²)/(3a²))

q=((27a²d-9abc+2b³)/(27a³))

所以可得卡丹公式

x(n)=-(b/(3a))+ω^(n-1)(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))+

√(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))²+((3ac-b²)/(9a²))³))^(1

/3)+ω^(2n-2)(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))-√(((27a²d-9abc+2b³)/(54a³))²+((3ac-b²)/(9a²))³))^(1/3)

其中n取1，2，3

這就是卡丹公式