階乘函式

一個正整數的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

基本資訊

中文名

階乘函式

外文名

factorial

提出者

基斯頓·卡曼

目錄

定義

一個正整數的 階乘（英語： factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。

階乘函式

亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞迴方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。

階乘亦可定義於整個實數（負整數除外），其與伽瑪函式的關係為：

階乘函式

階乘函式

n的可質因子分解為，如6=2×3。

計算

階乘函式

計算n!時，當n不太大時，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過數值的計算機可以計算至69!。

階乘函式

當n很大時，可以用斯特林公式估計：

更精確的估計是：

階乘函式

階乘函式

其中

變化

定義擴充套件

階乘的定義可推廣到複數，其與伽瑪函式的關係為：

階乘函式

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伽瑪函式滿足。

遞進/遞降階乘

階乘函式

遞進階乘：

階乘函式

遞降階乘：

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雙階

階乘函式

階乘函式

表示雙階乘，其定義為：

階乘函式

廣義的雙階乘

無視上述定義的n!!因為即使值的N，雙階乘為奇數可擴充套件到最實數和複數z的注意到，當z是一個正的奇數則：

階乘函式

z!!定義為所有複數除負偶數。

階乘函式

階乘函式

使用它的定義，半徑為R的n維超球其體積可表示為：n=1,3,5,...n=2,4,6,...

多重階乘

階乘函式

被稱為n的k重階乘，定義為：

階乘函式

廣義的多重階乘

能將 多重階乘推廣到複數（甚至是四元數）：

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hyper階乘

hyper階乘（hyperfactorial有時譯作 過度階乘）寫作H（n），其定義為：

階乘函式

hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。 前幾項的hyper階乘為：

1,4,108, 27648, 86400000, ...

超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。一般來說

階乘函式

自然數階冪