有些情形下一個實變數函式在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變數函式作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，
在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函式代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。
應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個訊號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。
拉普拉斯變換的物理意義是什麼？
從正則系綜配分函式切換到微正則系綜態密度或者說譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數上的複數也很好理解，它經常出現於統計力學中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧於1952年透過兩篇論文建立）：即復化之後的溫度，化學勢或者外磁場。
他們透過這種復化的方法推匯出出了在熱力學極限下，系統發生一級或者連續相變的條件（原文是對於自旋系統的）：就像複分析裡的branch cut一樣，Lee-Yang零點在複平面上聚整合一條線，只有取實數值的物理量在相變是跨過這條線，才會發生一級相變。這些零點解釋了為什麼一個明明是解析函式的配分函式在相變時卻能導致發散的物理量，也給出了一個no-go theorem： 不取熱力學極限就不會發生相變；至今這套理論還是研究傳統非拓撲相變的利器。有人會說復的物理學量只是數學技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的， 跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高於相變溫度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止於兩個臨界點，而用於描述該臨界點附近復物理量的理論是一個central charge為-22/5的2維共形場論，叫非么正minimal model.
因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經常出現在半經典近似中，因為如果假設AdS/CFT成立，復化的熱力學量既屬於2維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場論的引數。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten裡（5.7）式附近把拉普拉斯逆變換寫成拉普拉斯變換了）。
PS： Lee-Yang的原文裡只考慮了復化的外磁場和化學勢，叫做field-driven transition；復溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場論中的虛時間混淆。
數學上，其實把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅立葉變換的推廣更合適，因為後者的指數上也沒有虛數單位，專治非收斂級數，這和拉普拉斯變換代替傅立葉變換處理非收斂訊號有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場論和絃論的resurgent analysis裡火得不行呀
有些情形下一個實變數函式在實數域中進行一些運算並不容易，但若將實變數函式作拉普拉斯變換，並在複數域中作各種運算，再將運算結果作拉普拉斯反變換來求得實數域中的相應結果，
在經典控制理論中，對控制系統的分析和綜合，都是建立在拉普拉斯變換的基礎上的。引入拉普拉斯變換的一個主要優點，是可採用傳遞函式代替常係數微分方程來描述系統的特性。這就為採用直觀和簡便的圖解方法來確定控制系統的整個特性、分析控制系統的運動過程，以及提供控制系統調整的可能性。
應用拉普拉斯變換解常變數齊次微分方程，可以將微分方程化為代數方程，使問題得以解決。在工程學上，拉普拉斯變換的重大意義在於：將一個訊號從時域上，轉換為複頻域（s域）上來表示；在線性系統，控制自動化上都有廣泛的應用。
拉普拉斯變換的物理意義是什麼？
從正則系綜配分函式切換到微正則系綜態密度或者說譜密度的時候，所用的是拉普拉斯逆變換；反之是拉普拉斯變換。其中核的指數上的複數也很好理解，它經常出現於統計力學中的Lee-Yang理論（由李政道和楊振寧於1952年透過兩篇論文建立）：即復化之後的溫度，化學勢或者外磁場。
他們透過這種復化的方法推匯出出了在熱力學極限下，系統發生一級或者連續相變的條件（原文是對於自旋系統的）：就像複分析裡的branch cut一樣，Lee-Yang零點在複平面上聚整合一條線，只有取實數值的物理量在相變是跨過這條線，才會發生一級相變。這些零點解釋了為什麼一個明明是解析函式的配分函式在相變時卻能導致發散的物理量，也給出了一個no-go theorem： 不取熱力學極限就不會發生相變；至今這套理論還是研究傳統非拓撲相變的利器。有人會說復的物理學量只是數學技巧罷了，但近來有實驗表明我們是能觀測到Lee-Yang零點的， 跑偏一點，這套理論還衍生出Lee-Yang edge，即高於相變溫度時，上述的Lee-Yang零點匯聚線終止於兩個臨界點，而用於描述該臨界點附近復物理量的理論是一個central charge為-22/5的2維共形場論，叫非么正minimal model.
因此拉普拉斯變換在研究3維純量子引力（不含費米物質）特別是黑洞熵以及黑洞Hawking-Page相變的時候，經常出現在半經典近似中，因為如果假設AdS/CFT成立，復化的熱力學量既屬於2維漸進邊界上的引力邊界條件，也是邊界2維共形場論的引數。可以參照下列Witten和尹希的文章（Maloney-Witten裡（5.7）式附近把拉普拉斯逆變換寫成拉普拉斯變換了）。
PS： Lee-Yang的原文裡只考慮了復化的外磁場和化學勢，叫做field-driven transition；復溫度是1965年Michael E. Fisher引入的，叫temperature-driven transition，是一個nontrivial的推廣，注意不要和有限溫度場論中的虛時間混淆。
數學上，其實把拉普拉斯變換看成Borel變換的推廣比看成是傅立葉變換的推廣更合適，因為後者的指數上也沒有虛數單位，專治非收斂級數，這和拉普拉斯變換代替傅立葉變換處理非收斂訊號有異曲同工之妙。在物理中的用途嘛，最近在非微擾量子場論和絃論的resurgent analysis裡火得不行呀