三次函式

最高次數項為3的函式

三次函式(cubic function)指的是最高次數項為3的函式，形如y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d為常數）的函式。 三次函式的圖象是一條曲線——迴歸式拋物線（不同於普通拋物線）。

中文名

三次函式

外文名

cubic function

別稱

三次迴歸式拋物線

表示式

y=ax³+bx²+cx+d（a≠0,b,c,d為常數）

提出者

範盛金

應用學科

數學

適用領域範圍

中等代數

圖象性質

三次函式性態的五個要點

⒈三次函式y=f(x）在（-∞，+∞）上的極值點的個數

⒉三次函式y=f（x）的圖象與x 軸交點個數

⒊單調性問題

⒋三次函式f（x）圖象的切線條數

⒌融合三次函式和不等式，創設情境求引數的範圍

三次函式的對稱中心

1.三次函式有對稱中心的證明

證明：

因為f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0的對稱中心是，即

所以f(x)=ax3+bx2+cx+d如果能寫成f(x)=a(x-x0)3+b(x-x0)+y0那麼三次函式的對稱中心就是。

所以設f(x)=a(x+m)3+p(x+m)+n

得f(x)=ax3+3amx2+(3am2+p)x+am3+pm+n

所以3am=b; 3am2+p=c; am3+pm+n=d;

所以m=b/3a; p=(3ac-b2)/3a; n=d+(2b3)/(27a2)-bc/(3a)

所以f(x)=a(x+b/3a)3+(c-B2/3a)(x+b/3a)+d+2b3/27a2-bc/3a

得證。

2.推廣

如果f(x）是一個n次多項式，n>=2（因為直線的對稱中心從狹義上講是沒有對稱中心 而在廣義上講是無數個對稱中心），其次項係數是，次項係數是，則有

⑴：如果y=f(x）的影象是中心對稱圖形，其對稱中心是（-a1/n/a0,f(-a1/n/a0));

⑵：如果y=f(x)的影象是軸對稱圖形，其對稱軸是x=-a1/n/a0.

極值計算

三次函式，其導數為。易證當有兩個不相等的實數根時，f(x)具有極大值和極小值。而當有兩個相等的實數根或沒有實數根時，f(x)不具有極值。

若f(x)有極值，設在和處取得，則滿足關係式，因此以下用來介紹兩種求三次函式極值的方法。

代入原方程法

該方法為高中學生必須掌握的方法，即透過解方程，將所得解x1與x2代入f(x)中得到極值。

解得。

因此極大值：

極小值：

該方法簡潔明瞭，但存在一個問題，即如果解出來的x1與x2十分複雜（如含有根式，或數字較大等），代入f(x)中計算乘方將是一件不容易的事。下一種方法則可以較好地解決上述問題。

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