以下內容簡略證明了：
1. 符合該性質的數按照末位數字可以分為0系列，1系列，5系列，6系列這四種
2. 0系列和1系列分別各只有一個數，即0和1
3. 5系列和6系列的數，對於每個正整數n，均有對應的n位數An和Bn，其中An是5系列的，Bn是6系列的。
4. 證明以下公式
An+Bn=10^n+1
5. 給出了5系列的遞推方式
An+1=An^2÷10^(n+1)的餘數
利用第4點也可以得出6系列的遞推方法
以前在《小學生數學報》上面看過，一篇科普類的文章，不過文章只講了這個現象。
另外還講了一個性質，就是
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
0625+9376=10001
……
成對出現並且每一對的和為10^n+1
證明這個性質很簡單
設a是滿足性質的n位數，證明10^n+1-a滿足這個性質
a^2=a+b*10^n
(10^n+1-a)^2
=10^2n-2(a-1)*10^n+a^2-2a+1
=(10^n-2a+2+b)*10^n-a+1
末n位確實是10^n+1-a
證畢
還有一個遞推的性質
只對5這一系列成立
1位數的5，平方25
那麼2位數就是25，平方625
三位數就是625，平方390625
n位數就是（n-1）位數平方的後n位。
這個證明很容易
數學歸納法即可
設存在An是符合這個性質的n位數，且末位是5
根據性質可知An^2=p*10^(n+1)+q*10^n+An
其中，p為自然數，q為一位的自然數。
(q*10^n+An)^2
=q^2*10^2n+2qAn*10^n+An^2
=q^2*10^2n+2qAn*10^n+p*10^(n+1)+q*10^n+An
第一項和第三項都是10^(n+1)的倍數，第二項中An末位為5，2qAn是10的倍數，說明第二項也是10^(n+1)的倍數
說明該式末(n+1)位為q*10^n+An
即存在An+1=q*10^n+An
綜合上述兩個性質，可以知道對於每一個正整數n，都對應兩個n位數的An和Bn(有時會出現首位為0，比如四位數0625和9376)，滿足平方之後末n位分別也是An和Bn，且An+Bn=10^n+1。
另外，對於每個n，n位數有且只有這兩個An和Bn
因為首先從最末位數字就知道，只有0，1，5，6
0系列的不可能，因為n位數，要讓平方之後末n位相同，說明末2位是00，末2位00，平方就會出現0000，那麼末4位就是0000，平方之後就會出現00000000，不斷遞推下去，結論就是0系列的數就是0，只有一個。
1系列的也不可能
設A是滿足性質的末位是1的n位數
將A按照十進位制寫法寫作an-1 an-2 …… a2 a1 1
平方之後
末一位是1
末2位是2a1*10+1的末2位，要滿足性質，則滿足
2a1=a1，則a1=0
末3位是2a2*10+1的末3位，要滿足性質，則滿足
2a2=a2，則a2=0
依次類推
最後得出n位的1系列的數字是000……0001，那就是1，只有一個。
因此只剩下5系列和6系列的
以下內容簡略證明了：
1. 符合該性質的數按照末位數字可以分為0系列，1系列，5系列，6系列這四種
2. 0系列和1系列分別各只有一個數，即0和1
3. 5系列和6系列的數，對於每個正整數n，均有對應的n位數An和Bn，其中An是5系列的，Bn是6系列的。
4. 證明以下公式
An+Bn=10^n+1
5. 給出了5系列的遞推方式
An+1=An^2÷10^(n+1)的餘數
利用第4點也可以得出6系列的遞推方法
以前在《小學生數學報》上面看過，一篇科普類的文章，不過文章只講了這個現象。
另外還講了一個性質，就是
5+6=11
25+76=101
625+376=1001
0625+9376=10001
……
成對出現並且每一對的和為10^n+1
證明這個性質很簡單
設a是滿足性質的n位數，證明10^n+1-a滿足這個性質
a^2=a+b*10^n
(10^n+1-a)^2
=10^2n-2(a-1)*10^n+a^2-2a+1
=(10^n-2a+2+b)*10^n-a+1
末n位確實是10^n+1-a
證畢
還有一個遞推的性質
只對5這一系列成立
1位數的5，平方25
那麼2位數就是25，平方625
三位數就是625，平方390625
……
n位數就是（n-1）位數平方的後n位。
這個證明很容易
數學歸納法即可
設存在An是符合這個性質的n位數，且末位是5
根據性質可知An^2=p*10^(n+1)+q*10^n+An
其中，p為自然數，q為一位的自然數。
(q*10^n+An)^2
=q^2*10^2n+2qAn*10^n+An^2
=q^2*10^2n+2qAn*10^n+p*10^(n+1)+q*10^n+An
第一項和第三項都是10^(n+1)的倍數，第二項中An末位為5，2qAn是10的倍數，說明第二項也是10^(n+1)的倍數
說明該式末(n+1)位為q*10^n+An
即存在An+1=q*10^n+An
綜合上述兩個性質，可以知道對於每一個正整數n，都對應兩個n位數的An和Bn(有時會出現首位為0，比如四位數0625和9376)，滿足平方之後末n位分別也是An和Bn，且An+Bn=10^n+1。
另外，對於每個n，n位數有且只有這兩個An和Bn
因為首先從最末位數字就知道，只有0，1，5，6
0系列的不可能，因為n位數，要讓平方之後末n位相同，說明末2位是00，末2位00，平方就會出現0000，那麼末4位就是0000，平方之後就會出現00000000，不斷遞推下去，結論就是0系列的數就是0，只有一個。
1系列的也不可能
設A是滿足性質的末位是1的n位數
將A按照十進位制寫法寫作an-1 an-2 …… a2 a1 1
平方之後
末一位是1
末2位是2a1*10+1的末2位，要滿足性質，則滿足
2a1=a1，則a1=0
末3位是2a2*10+1的末3位，要滿足性質，則滿足
2a2=a2，則a2=0
依次類推
最後得出n位的1系列的數字是000……0001，那就是1，只有一個。
因此只剩下5系列和6系列的