性質定理1：如果一條直線垂直於一個平面，那麼該直線垂直於平面內的所有直線。
性質定理2：經過空間內一點，有且只有一條直線垂直已知平面。
性質定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。
性質定理4：垂直於同一平面的兩條直線平行。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。） 已知平面α和一點P，求證過P垂直於α的直線有且只有一條。
當P在平面外時，假設過P有兩條直線m、n都與α垂直，不妨設垂足為M、N。由於m∩n=P，那麼m和n確定一個平面β。不難證明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。這樣一來，在β內就有PM、PN與MN都垂直，與平面內的垂線公理（其實是定理，因為可以依靠歐式幾何的公理證明）矛盾。
類似地可證明當P在平面上時也能推出矛盾。
因此定理2成立。 已知m∥n，m⊥α，求證n⊥α。
證明：設m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分別另取P、Q。
∵m∥n
∴設m與n確定平面β，且α∩β=MN
過N在α內作AB⊥MN，連線PN。
∵PM⊥α，AB偊? ∴PM⊥AB
∵PM偊攏琈N偊? ∴AB⊥β
∵QN偊? ∴QN⊥AB~~~①
又∵PM⊥α，MN偊? ∴PM⊥MN
∵PM∥QN
∴QN⊥MN~~~②
∵MN∩AB=N，MN偊粒珹B偊? ∴QN⊥α 已知m⊥α，n⊥α，求證m∥n
證明：假設m和n不平行，那麼它們相交或異面。
當它們相交的時候，設m∩n=P，則m、n確定一個平面
設m⊥α於M，n⊥α於N，連線MN。
則MN在m、n所確定的平面上
易證PM⊥α，MN偊? ∴PM⊥MN
同理可證PN⊥MN
∵PMN共面，即在該平面內有兩條直線PM、PN與MN都垂直，這與平面內的垂直定理矛盾
∴mn不相交
當它們異面的時候，過N作n‘∥m
∵m⊥α，由定理3可知n’⊥α
又∵n⊥α，n∩n‘=N
即過N有n和n’都與α垂直，這與定理2矛盾
∴mn不異面
∴m∥n 已知空間內有三條直線a、b、c，且三條直線不同在一個平面內。若a∥b，b∥c，求證a∥c。
幾何法證明：在a上任意取一點A，由於兩條平行直線確定一個平面，因此在a和b所確定的平面內，過A作b的垂線AB，垂足為B。同理，在b和c所確定的平面內，過B作c的垂線BC，垂足為C。連線AC。
∵b∥c，BC⊥c
∴BC⊥b
∵AB⊥b
∴b⊥平面ABC（判定定理）
∵a∥b
∴a⊥平面ABC（性質定理3）
∵c∥b
∴c⊥平面ABC（性質定理3）
∴a∥c（性質定理4）
向量法證明：設a的方向向量為a，b的方向向量為b，c的方向向量為c，其中a、b、c都是非零向量。
∴a∥b
由共線向量基本定理可知存在一個唯一實數λ（λ≠0）使得a=λb
同理，存在一個唯一實數μ（μ≠0）使得b=μc
∴a=λ*(μc)=(λ*μ)c
∴a∥c
反證法證明：假設a和c不平行，要麼它們相交，要麼它們異面。
若a和c相交於P，則它們確定一個平面α。又設a和b確定的平面為β。
明顯，α∩β=a
∵a∩c=P
∴c不在β上。這是因為由於兩個相交平面只有一條交線，這條交線就是a。而c偊粒綣鵐偊攏得鱟和a重合，這與它們相交矛盾。
∵a∥b，P∈a
∴P b
由異面直線的判定定理（經過平面外一點與平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線互為異面直線）可知b和c互為異面直線（只要取c上其他一點Q即可，Q必定不在β上，否則P、Q都在β上那麼c就在β上，與前文所述矛盾）。但這與條件中b∥c矛盾，因此一開始的假設不成立，a和c不相交。
若a和c異面，則根據異面直線所成角的定義，平行於異面直線其中一條的直線與異面直線的另一條所成角等於原來的異面直線所成角
∴a與c所成角等於b與c所成角
但b∥c，即b與c所成角為0°
∴a與c所成角為0°，這和異面直線所成角的範圍(0°,90°]相矛盾
∴a和c不異面
性質定理1：如果一條直線垂直於一個平面，那麼該直線垂直於平面內的所有直線。
性質定理2：經過空間內一點，有且只有一條直線垂直已知平面。
性質定理3：如果在兩條平行直線中，有一條直線垂直於一個平面，那麼另一條直線也垂直於這個平面。
性質定理4：垂直於同一平面的兩條直線平行。
推論：空間內如果兩條直線都與第三條直線平行，那麼這兩條直線平行。（該推論意味著平行線的傳遞性不僅在平面幾何上，在空間幾何上也成立。） 已知平面α和一點P，求證過P垂直於α的直線有且只有一條。
當P在平面外時，假設過P有兩條直線m、n都與α垂直，不妨設垂足為M、N。由於m∩n=P，那麼m和n確定一個平面β。不難證明α∩β=MN。
∵m⊥α，n⊥α
∴m⊥MN，n⊥MN。這樣一來，在β內就有PM、PN與MN都垂直，與平面內的垂線公理（其實是定理，因為可以依靠歐式幾何的公理證明）矛盾。
類似地可證明當P在平面上時也能推出矛盾。
因此定理2成立。 已知m∥n，m⊥α，求證n⊥α。
證明：設m∩α=M，n∩α=N。再在m、n上分別另取P、Q。
∵m∥n
∴設m與n確定平面β，且α∩β=MN
過N在α內作AB⊥MN，連線PN。
∵PM⊥α，AB偊? ∴PM⊥AB
∵PM偊攏琈N偊? ∴AB⊥β
∵QN偊? ∴QN⊥AB~~~①
又∵PM⊥α，MN偊? ∴PM⊥MN
∵PM∥QN
∴QN⊥MN~~~②
∵MN∩AB=N，MN偊粒珹B偊? ∴QN⊥α 已知m⊥α，n⊥α，求證m∥n
證明：假設m和n不平行，那麼它們相交或異面。
當它們相交的時候，設m∩n=P，則m、n確定一個平面
設m⊥α於M，n⊥α於N，連線MN。
則MN在m、n所確定的平面上
易證PM⊥α，MN偊? ∴PM⊥MN
同理可證PN⊥MN
∵PMN共面，即在該平面內有兩條直線PM、PN與MN都垂直，這與平面內的垂直定理矛盾
∴mn不相交
當它們異面的時候，過N作n‘∥m
∵m⊥α，由定理3可知n’⊥α
又∵n⊥α，n∩n‘=N
即過N有n和n’都與α垂直，這與定理2矛盾
∴mn不異面
∴m∥n 已知空間內有三條直線a、b、c，且三條直線不同在一個平面內。若a∥b，b∥c，求證a∥c。
幾何法證明：在a上任意取一點A，由於兩條平行直線確定一個平面，因此在a和b所確定的平面內，過A作b的垂線AB，垂足為B。同理，在b和c所確定的平面內，過B作c的垂線BC，垂足為C。連線AC。
∵b∥c，BC⊥c
∴BC⊥b
∵AB⊥b
∴b⊥平面ABC（判定定理）
∵a∥b
∴a⊥平面ABC（性質定理3）
∵c∥b
∴c⊥平面ABC（性質定理3）
∴a∥c（性質定理4）
向量法證明：設a的方向向量為a，b的方向向量為b，c的方向向量為c，其中a、b、c都是非零向量。
∵a∥b
∴a∥b
由共線向量基本定理可知存在一個唯一實數λ（λ≠0）使得a=λb
同理，存在一個唯一實數μ（μ≠0）使得b=μc
∴a=λ*(μc)=(λ*μ)c
∴a∥c
∴a∥c
反證法證明：假設a和c不平行，要麼它們相交，要麼它們異面。
若a和c相交於P，則它們確定一個平面α。又設a和b確定的平面為β。
明顯，α∩β=a
∵a∩c=P
∴c不在β上。這是因為由於兩個相交平面只有一條交線，這條交線就是a。而c偊粒綣鵐偊攏得鱟和a重合，這與它們相交矛盾。
∵a∥b，P∈a
∴P b
由異面直線的判定定理（經過平面外一點與平面內一點的直線，與平面內不經過該點的直線互為異面直線）可知b和c互為異面直線（只要取c上其他一點Q即可，Q必定不在β上，否則P、Q都在β上那麼c就在β上，與前文所述矛盾）。但這與條件中b∥c矛盾，因此一開始的假設不成立，a和c不相交。
若a和c異面，則根據異面直線所成角的定義，平行於異面直線其中一條的直線與異面直線的另一條所成角等於原來的異面直線所成角
∵a∥b
∴a與c所成角等於b與c所成角
但b∥c，即b與c所成角為0°
∴a與c所成角為0°，這和異面直線所成角的範圍(0°,90°]相矛盾
∴a和c不異面
∴a∥c