平行線可以相交”這件事在我們現在看來，很多人都無法理解，這是因為我們知識的侷限性造成的。
我們初中所學習到的平面幾何學以歐幾里得幾何學為框架，其中對平行線的定義就是在二維平面內兩條不相交的直線。
而關於直線的定義是，在二維平面上的兩個點之間有且只有一條直線，也就是我們常說的兩點確定一條直線。
這麼看來在歐式幾何學中，平行線可以無限延長，且永遠不會相交。這種說法很符合人類的直覺常識，也很容易被人們接受，且深信不疑。
不僅是我們，幾千年來大部分的數學家也是這樣認為的。因此歐式幾何學也順勢統治了人類數學史數千年的時間。
那麼平行線為何又可以相交呢？這是怎麼回事？這個問題涉及到了幾何學的一個重大發現和突破，也不得不提一位俄羅斯數學界的牛人：羅巴切夫斯基。
參加此次學術會議的都是當時數學家的大咖，其中不乏一些已經在學術界很有成就，資歷比較老的前輩。
在他們眼裡羅巴切夫斯基是一位在學術上非常嚴謹、誠實、富有才華的青年數學家，未來可期。他們也很期待羅巴切夫斯基的學術報告。
負曲率二維表面三角形內角和小於180°，且可以作已知直線的無數條平行線
在做了簡短的開場白以後，接下來羅巴切夫斯基所說的話，令當時在場的所有數學家驚愕不已，羅巴切夫斯基所做的報告不僅完全超出了當時數學界的認知，且每一句話都在挑戰著人們的常識。
例如羅巴切夫斯基提出：在一個二維的面上三角形的內角之和可以小於180°，當然也可以大於180°；由兩條直線組成的銳角，向一邊作垂線，這個垂線可以和另外一條邊不相交；
正曲率表面，三角形內角和大於180°，無法作平行線
在一個二維面內，過直線外的一點，可以做多條直線與已知直線平行；當然也存在無法做平行線的情況，也就是說在一個二維面上，沒有真正的平行線，任何兩條直線都有一個共同的交點（平行線相交）。
看了以上的說法是不是很懵，不要慌張，當時在座的所有數學家都被驚掉了下巴，無人能理解羅巴切夫斯基在說什麼。
但羅巴切夫斯基說這些看起來奇怪的說法是新的幾何學，雖然和歐式幾何相互衝突，但是它和歐式幾何有著同等重要的地位，並請求同行對他的報告提出評議。
但此時的會場一片寂靜，所有的人都流露出了懷疑、否定的態度，不敢相信這麼胡扯的話能出在一位治學嚴謹的數學家之口。
那麼羅巴切夫斯基到底說的是什麼？它又發現了什麼？
上文中我們不斷的提到歐式幾何，它是公元3世紀由古希臘學者歐幾里得編寫的一部數學界的曠世鉅著《幾何原本》。
歐幾里得的幾何學中，一開始寫了5條公設（公理），並在此基礎上進行邏輯推理匯出了48個命題。公設的意思是那些不用去證明的真理。
這五條公理我們非常熟悉，這是學習幾何時必須掌握的知識，其中前四條公理人們看著十分滿意，但是唯獨第五條（論平行線的）人們怎麼看怎麼不舒服。
並不是覺得它不對，就是感覺這個語句如此之長一點也不簡潔，看起來更像是一條可以被證明的定理，而不是公理。
並且後來的學家也認為，是當時歐幾里得無法給出這條定理的證明，投機取巧才把它寫進了公理。如此想法一出，數學界就開始了長達數千年利用前四條公理去證明第5公理的道路。
在一個球面，兩點之間可以作無數條直線。
但是直到19世紀初，所有的數學家都逃不過迴圈論證的噩夢，證明第5條公理就成為了數學家的一大歷史遺留問題。
身為數學家的羅巴切夫斯基當然也加入了其中，不過他一樣也發現第五條公理怎樣都無法證明。但是理論的進步往往都自於一瞬間的靈光乍現。
既然無法證明，那是不是就說明證明的第五條公理的過程根本就不存在，我們去找一件本身不存的事情當然是徒勞。人類花了幾千年，就算是再過上萬年也會無果。
為了證明第五公理不可證明，羅巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改為一條新的公理，即：過直線外的一點可以做已知直線，至少兩條平行線。
將這個新的公理和前四條公理結合在一起，羅巴切夫斯基從頭開始了新的邏輯推理，並發現得出來的結論雖然古怪，但是在理論上並不矛盾，而且與前四條公理完美的相容。
這隻能說明，新結論和歐式幾何同樣具有同等的地位，且是一個完整、邏輯嚴密的新幾何。新幾何的存在也說明了第五公理並不是公理，也不是定理，它只能是一個對平行線的定義，不同的定義可以匯出不同的結論，因此也無法證明。
這個新的幾何學就是我們大學時學到的非歐幾何，適用於彎曲的時空。羅巴切夫斯基根據他對平面內平行線的定義所得出來的幾何學也被稱為羅氏幾何。
主要描述的是負曲率空間的幾何學，雖然這是一個偉大的發現，但是由於當時人們根本找不到現實世界的類比物來理解羅氏幾何。
因此羅巴切夫斯基的新發現得到的是一片冷嘲熱諷，甚至是人身攻擊，甚至是被當時的俄國教育部開除了公職，迫使他離開了最喜愛的大學校園。
長年的苦悶和壓抑使得羅巴切夫斯基在晚年百病纏身，甚至失明。1856年羅巴切夫斯基帶著遺憾和無奈走完了自己的一生。這時他的新幾何學依然沒有被人們認可，在追悼會上人們對他在非歐幾何上的貢獻也是隻字不提，刻意迴避。
1854年黎曼更改了第五條公理，即：在一個二維平面內，不存在平行線的存在，得出了黎曼幾何。黎曼幾何描述的是正曲率空間的幾何學，也被稱為橢球幾何學。
1864閔可夫斯基提出了不同以往的絕對平坦時空，稱為閔式四維時空，1868年數學家貝特拉米證明的非歐幾何可以在閔式四維時空的曲面上實現。
到了二十世紀初，愛因斯坦在閔式四維時空以及非歐幾何的基礎上提出了相對論，為人們重新塑造了整個宇宙的時空結構。
平坦的時空只不過是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所謂的平坦時空，因此非歐幾何才是宇宙的本質。
宇宙曲率
整個宇宙存在一定的曲率，雖然我們觀察到的宇宙近似於平坦，這隻能說明我們觀察的尺度較小，從整個宇宙的尺度上來說，是不存在絕對的平行線，無限延長的兩條線會因為宇宙的曲率相交或者發散。
因此歐式幾何就像是牛頓力學，非歐幾何更像是相對論。人們當時難以接受非歐幾何不亞於難以接受相對論的程度。
平行線可以相交”這件事在我們現在看來，很多人都無法理解，這是因為我們知識的侷限性造成的。
我們初中所學習到的平面幾何學以歐幾里得幾何學為框架，其中對平行線的定義就是在二維平面內兩條不相交的直線。
而關於直線的定義是，在二維平面上的兩個點之間有且只有一條直線，也就是我們常說的兩點確定一條直線。
這麼看來在歐式幾何學中，平行線可以無限延長，且永遠不會相交。這種說法很符合人類的直覺常識，也很容易被人們接受，且深信不疑。
不僅是我們，幾千年來大部分的數學家也是這樣認為的。因此歐式幾何學也順勢統治了人類數學史數千年的時間。
那麼平行線為何又可以相交呢？這是怎麼回事？這個問題涉及到了幾何學的一個重大發現和突破，也不得不提一位俄羅斯數學界的牛人：羅巴切夫斯基。
參加此次學術會議的都是當時數學家的大咖，其中不乏一些已經在學術界很有成就，資歷比較老的前輩。
在他們眼裡羅巴切夫斯基是一位在學術上非常嚴謹、誠實、富有才華的青年數學家，未來可期。他們也很期待羅巴切夫斯基的學術報告。
負曲率二維表面三角形內角和小於180°，且可以作已知直線的無數條平行線
在做了簡短的開場白以後，接下來羅巴切夫斯基所說的話，令當時在場的所有數學家驚愕不已，羅巴切夫斯基所做的報告不僅完全超出了當時數學界的認知，且每一句話都在挑戰著人們的常識。
例如羅巴切夫斯基提出：在一個二維的面上三角形的內角之和可以小於180°，當然也可以大於180°；由兩條直線組成的銳角，向一邊作垂線，這個垂線可以和另外一條邊不相交；
正曲率表面，三角形內角和大於180°，無法作平行線
在一個二維面內，過直線外的一點，可以做多條直線與已知直線平行；當然也存在無法做平行線的情況，也就是說在一個二維面上，沒有真正的平行線，任何兩條直線都有一個共同的交點（平行線相交）。
看了以上的說法是不是很懵，不要慌張，當時在座的所有數學家都被驚掉了下巴，無人能理解羅巴切夫斯基在說什麼。
但羅巴切夫斯基說這些看起來奇怪的說法是新的幾何學，雖然和歐式幾何相互衝突，但是它和歐式幾何有著同等重要的地位，並請求同行對他的報告提出評議。
但此時的會場一片寂靜，所有的人都流露出了懷疑、否定的態度，不敢相信這麼胡扯的話能出在一位治學嚴謹的數學家之口。
那麼羅巴切夫斯基到底說的是什麼？它又發現了什麼？
上文中我們不斷的提到歐式幾何，它是公元3世紀由古希臘學者歐幾里得編寫的一部數學界的曠世鉅著《幾何原本》。
歐幾里得的幾何學中，一開始寫了5條公設（公理），並在此基礎上進行邏輯推理匯出了48個命題。公設的意思是那些不用去證明的真理。
這五條公理我們非常熟悉，這是學習幾何時必須掌握的知識，其中前四條公理人們看著十分滿意，但是唯獨第五條（論平行線的）人們怎麼看怎麼不舒服。
並不是覺得它不對，就是感覺這個語句如此之長一點也不簡潔，看起來更像是一條可以被證明的定理，而不是公理。
並且後來的學家也認為，是當時歐幾里得無法給出這條定理的證明，投機取巧才把它寫進了公理。如此想法一出，數學界就開始了長達數千年利用前四條公理去證明第5公理的道路。
在一個球面，兩點之間可以作無數條直線。
但是直到19世紀初，所有的數學家都逃不過迴圈論證的噩夢，證明第5條公理就成為了數學家的一大歷史遺留問題。
身為數學家的羅巴切夫斯基當然也加入了其中，不過他一樣也發現第五條公理怎樣都無法證明。但是理論的進步往往都自於一瞬間的靈光乍現。
既然無法證明，那是不是就說明證明的第五條公理的過程根本就不存在，我們去找一件本身不存的事情當然是徒勞。人類花了幾千年，就算是再過上萬年也會無果。
為了證明第五公理不可證明，羅巴切夫斯基首先否定了第五公理，把他更改為一條新的公理，即：過直線外的一點可以做已知直線，至少兩條平行線。
將這個新的公理和前四條公理結合在一起，羅巴切夫斯基從頭開始了新的邏輯推理，並發現得出來的結論雖然古怪，但是在理論上並不矛盾，而且與前四條公理完美的相容。
這隻能說明，新結論和歐式幾何同樣具有同等的地位，且是一個完整、邏輯嚴密的新幾何。新幾何的存在也說明了第五公理並不是公理，也不是定理，它只能是一個對平行線的定義，不同的定義可以匯出不同的結論，因此也無法證明。
這個新的幾何學就是我們大學時學到的非歐幾何，適用於彎曲的時空。羅巴切夫斯基根據他對平面內平行線的定義所得出來的幾何學也被稱為羅氏幾何。
主要描述的是負曲率空間的幾何學，雖然這是一個偉大的發現，但是由於當時人們根本找不到現實世界的類比物來理解羅氏幾何。
因此羅巴切夫斯基的新發現得到的是一片冷嘲熱諷，甚至是人身攻擊，甚至是被當時的俄國教育部開除了公職，迫使他離開了最喜愛的大學校園。
長年的苦悶和壓抑使得羅巴切夫斯基在晚年百病纏身，甚至失明。1856年羅巴切夫斯基帶著遺憾和無奈走完了自己的一生。這時他的新幾何學依然沒有被人們認可，在追悼會上人們對他在非歐幾何上的貢獻也是隻字不提，刻意迴避。
1854年黎曼更改了第五條公理，即：在一個二維平面內，不存在平行線的存在，得出了黎曼幾何。黎曼幾何描述的是正曲率空間的幾何學，也被稱為橢球幾何學。
1864閔可夫斯基提出了不同以往的絕對平坦時空，稱為閔式四維時空，1868年數學家貝特拉米證明的非歐幾何可以在閔式四維時空的曲面上實現。
到了二十世紀初，愛因斯坦在閔式四維時空以及非歐幾何的基礎上提出了相對論，為人們重新塑造了整個宇宙的時空結構。
平坦的時空只不過是宇宙中小尺度上的特例，而在大尺度上不存在所謂的平坦時空，因此非歐幾何才是宇宙的本質。
宇宙曲率
整個宇宙存在一定的曲率，雖然我們觀察到的宇宙近似於平坦，這隻能說明我們觀察的尺度較小，從整個宇宙的尺度上來說，是不存在絕對的平行線，無限延長的兩條線會因為宇宙的曲率相交或者發散。
因此歐式幾何就像是牛頓力學，非歐幾何更像是相對論。人們當時難以接受非歐幾何不亞於難以接受相對論的程度。